ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-23   
На гладком горизонтальном столе расположен клин с углом $\beta$ при вершине. Масса клина равна М. На наклонную поверхность клина помещают брусок массой $m$, который начинает скользить вниз. Трением между любыми поверхностями можно пренебречь. Чему равно ускорение клина относительно стола (до того момента, когда брусок коснется стола)?



Решение:



Пусть $N$ - нормальная сила реакции, действующая на массу $m$ со стороны клина. Уравнение движения бруска массой $m$ в направлении у записывается в виде

$m \ddot{y} = mg - N \cos \beta$, (1)

а в направлении $x$

$m \ddot{x} = N \sin \beta$. (2)

Уравнение движения клина массой $M$ в направлении $x$ имеет вид

$M \ddot{x} = - N \sin \beta$. (3)

Поскольку брусок движется по клину, мы можем написать следующее уравнение связи:

$\frac{ \ddot{y}}{ \ddot{x} - \ddot{X} } = tg \beta$. (4)

Из уравнений (2) и (3) имеем

$\ddot{x} = - \frac{M}{m} \ddot{X}$. (5)

Подставляя $N$ из уравнения (2) в (1) и учитывая (5), получаем

$m \ddot{y} = mg + M \ddot{X} ctg \beta$. (6)

Подставляя $\ddot{x}$ из (5) в (4), находим

$\ddot{X} = - \ddot{y} \frac{ctg \beta}{1 + \frac{M}{m} }$. (7)

Наконец, исключая $\ddot{y}$ в (7) с помощью (6), получаем ускорение клина относительно стола

$\ddot{X} = - \frac{mg ctg \beta}{M + m + M ctg^{2} \beta }$.