Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11021
2019-10-23 
Диск плотно насажен на вал, проходящий через центр диска, причем ось симметрии диска $\vec{n}$ образует с валом угол $\delta$. Главный центральный момент инерции диска относительно оси симметрии $\vec{n}$ обозначим через $C$, а относительно любой оси $\vec{n}^{ \prime}$, перпендикулярной $\vec{n}$, - через $A$. Вал вращается в подшипниках с постоянной угловой скоростью $\omega$. Определите величину вращающего момента, действующего на подшипники.
Решение:
Как показано на рисунке, единичный вектор $\hat{n}$ направлен вдоль оси диска, вектор $\hat{h}^{ \prime}$ перпендикулярен вектору $\hat{n}$ и лежит в плоскости рисунка, а вектор $\hat{n}_{1}$ перпендикулярен плоскости рисунка. Угловую скорость $\omega$ можно разложить на две составляющие по направлениям $\hat{n}$ и $\hat{n}^{ \prime}$:
$\omega = \hat{n} \omega \cos \delta + \hat{n}^{ \prime} \omega \sin \delta$. (1)
Момент импульса диска записывается в виде
$\vec{M} = \vec{n} C \omega \cos \delta + \hat{n}^{ \prime} A \omega \sin \delta$. (2)
Уравнение движения диска в системе координат, вращающейся с угловой скоростью $\vec{ \omega}$, имеет вид
$Вращающий \: момент = \left ( \frac{d \vec{M}}{dt} \right )_{0} = \vec{ \omega} \times \vec{M} + \frac{d \vec{M}}{dt}$, (3)
где производная $(d/dt)_{0}$ относится к лабораторной системе, а $d/dt$ - к вращающейся системе координат. Поскольку во вращающейся вместе с диском системе координат диск неподвижен, то второй член в правой части уравнения (3) равен нулю. Следовательно,
$Вращающий \: момент = \hat{n}_{1} ( A \omega^{2} \sin \delta \cos \delta - C \omega^{2} \sin \delta \cos \delta) = \hat{n}_{1} (A - C) \omega^{2} \sin \delta \cos \delta$,
где $\hat{n}_{1} = \vec{n} \times \hat{n}^{ \prime}$.
Диск плотно насажен на вал, проходящий через центр диска, причем ось симметрии диска $\vec{n}$ образует с валом угол $\delta$. Главный центральный момент инерции диска относительно оси симметрии $\vec{n}$ обозначим через $C$, а относительно любой оси $\vec{n}^{ \prime}$, перпендикулярной $\vec{n}$, - через $A$. Вал вращается в подшипниках с постоянной угловой скоростью $\omega$. Определите величину вращающего момента, действующего на подшипники.
Решение:
Как показано на рисунке, единичный вектор $\hat{n}$ направлен вдоль оси диска, вектор $\hat{h}^{ \prime}$ перпендикулярен вектору $\hat{n}$ и лежит в плоскости рисунка, а вектор $\hat{n}_{1}$ перпендикулярен плоскости рисунка. Угловую скорость $\omega$ можно разложить на две составляющие по направлениям $\hat{n}$ и $\hat{n}^{ \prime}$:
$\omega = \hat{n} \omega \cos \delta + \hat{n}^{ \prime} \omega \sin \delta$. (1)
Момент импульса диска записывается в виде
$\vec{M} = \vec{n} C \omega \cos \delta + \hat{n}^{ \prime} A \omega \sin \delta$. (2)
Уравнение движения диска в системе координат, вращающейся с угловой скоростью $\vec{ \omega}$, имеет вид
$Вращающий \: момент = \left ( \frac{d \vec{M}}{dt} \right )_{0} = \vec{ \omega} \times \vec{M} + \frac{d \vec{M}}{dt}$, (3)
где производная $(d/dt)_{0}$ относится к лабораторной системе, а $d/dt$ - к вращающейся системе координат. Поскольку во вращающейся вместе с диском системе координат диск неподвижен, то второй член в правой части уравнения (3) равен нулю. Следовательно,
$Вращающий \: момент = \hat{n}_{1} ( A \omega^{2} \sin \delta \cos \delta - C \omega^{2} \sin \delta \cos \delta) = \hat{n}_{1} (A - C) \omega^{2} \sin \delta \cos \delta$,
где $\hat{n}_{1} = \vec{n} \times \hat{n}^{ \prime}$.
