Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11018
2019-10-23 
Предположим, что приливные волны на Земле вызываются только Солнцем.
а) Откуда черпается энергия, рассеиваемая во время приливов, и чему равна максимальная величина этой энергии?
б) Какие процессы обеспечивают сохранение суммарного момента импульса системы?
Решение:
а) Приливные волны совершают работу за счет энергии вращения Земли. Максимальная энергия, которую могут рассеять приливные волны, равна кинетической энергии вращения Земли $I \omega^{2}/2$, где $I$ - момент инерции Земли, а $\omega$ - угловая скорость ее вращения.
б) Рассечем мысленно Землю пополам плоскостью, перпендикулярной плоскости земной орбиты и проходящей через центры Солнца и Земли. Поскольку форма Земли несколько отличается от шарообразной, одна из ее половин окажется несколько ближе к Солнцу, чем другая. Поэтому в соответствии с законом обратных квадратов она будет притягиваться к Солнцу сильнее, чем другая половина.
Пусть $\vec{r}_{1}$ и $\vec{r}_{2}$ - радиус-векторы, определяющие положения центров масс двух половин Земли относительно Солнца, $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ - силы притяжения рассматриваемых половин Земли Солнцем и $\vec{r}_{0}$ - радиус-вектор, определяющий положение центра масс первой половины относительно центра масс Земли. Таким образом, мы имеем
$\vec{r}_{1} = \vec{r} + \vec{r}_{0}$ и $\vec{r}_{2} = \vec{r} - \vec{r}_{0}$.
(радиус-вектор $\vec{r}$ определяет центр масс Земли относительно центра Солнца)
Вращающий момент, действующий на Землю со стороны Солнца, приблизительно равен нулю, и можно записать
$\vec{M} = 0 = \vec{r}_{1} \times \vec{F}_{1} + \vec{r}_{2} \times \vec{F}_{2} = \vec{r}_{0} \times ( \vec{F}_{1} - \vec{F}_{2}) + \vec{r} \times ( \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}) \equiv \vec{C} + \vec{r} \times \vec{F}$. (1)
Здесь этот момент мы представили в виде суммы момента пары сил $\vec{C} = \vec{r}_{0} \times ( \vec{F}_{1} - \vec{F}_{2})$ относительно центра масс Земли и момента силы $\vec{F}$, приложенной к центру масс Земли, относительно Солнца. Момент пары $\vec{C}$ уменьшает угловую скорость вращения Земли, в то время как момент $\vec{r} \times \vec{F}$ увеличивает орбитальный момент Земли $\vec{L}_{орб}$. С увеличением последнего возрастает радиус земной орбиты, а также период обращения Земли (в соответствии с законом Кеплера $\omega^{2}r^{3}= \frac{4 \pi^{2}r^{3}}{T^{2}} = const$). Сохранение суммарного момента импульса наглядно видно из уравнения (1): уменьшение момента, связанного с суточным вращением Земли, приводит к немедленному возрастанию орбитального момента Земли на ту же самую величину.
Предположим, что приливные волны на Земле вызываются только Солнцем.
а) Откуда черпается энергия, рассеиваемая во время приливов, и чему равна максимальная величина этой энергии?
б) Какие процессы обеспечивают сохранение суммарного момента импульса системы?
Решение:
а) Приливные волны совершают работу за счет энергии вращения Земли. Максимальная энергия, которую могут рассеять приливные волны, равна кинетической энергии вращения Земли $I \omega^{2}/2$, где $I$ - момент инерции Земли, а $\omega$ - угловая скорость ее вращения.
б) Рассечем мысленно Землю пополам плоскостью, перпендикулярной плоскости земной орбиты и проходящей через центры Солнца и Земли. Поскольку форма Земли несколько отличается от шарообразной, одна из ее половин окажется несколько ближе к Солнцу, чем другая. Поэтому в соответствии с законом обратных квадратов она будет притягиваться к Солнцу сильнее, чем другая половина.
Пусть $\vec{r}_{1}$ и $\vec{r}_{2}$ - радиус-векторы, определяющие положения центров масс двух половин Земли относительно Солнца, $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ - силы притяжения рассматриваемых половин Земли Солнцем и $\vec{r}_{0}$ - радиус-вектор, определяющий положение центра масс первой половины относительно центра масс Земли. Таким образом, мы имеем
$\vec{r}_{1} = \vec{r} + \vec{r}_{0}$ и $\vec{r}_{2} = \vec{r} - \vec{r}_{0}$.
(радиус-вектор $\vec{r}$ определяет центр масс Земли относительно центра Солнца)
Вращающий момент, действующий на Землю со стороны Солнца, приблизительно равен нулю, и можно записать
$\vec{M} = 0 = \vec{r}_{1} \times \vec{F}_{1} + \vec{r}_{2} \times \vec{F}_{2} = \vec{r}_{0} \times ( \vec{F}_{1} - \vec{F}_{2}) + \vec{r} \times ( \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}) \equiv \vec{C} + \vec{r} \times \vec{F}$. (1)
Здесь этот момент мы представили в виде суммы момента пары сил $\vec{C} = \vec{r}_{0} \times ( \vec{F}_{1} - \vec{F}_{2})$ относительно центра масс Земли и момента силы $\vec{F}$, приложенной к центру масс Земли, относительно Солнца. Момент пары $\vec{C}$ уменьшает угловую скорость вращения Земли, в то время как момент $\vec{r} \times \vec{F}$ увеличивает орбитальный момент Земли $\vec{L}_{орб}$. С увеличением последнего возрастает радиус земной орбиты, а также период обращения Земли (в соответствии с законом Кеплера $\omega^{2}r^{3}= \frac{4 \pi^{2}r^{3}}{T^{2}} = const$). Сохранение суммарного момента импульса наглядно видно из уравнения (1): уменьшение момента, связанного с суточным вращением Земли, приводит к немедленному возрастанию орбитального момента Земли на ту же самую величину.
