Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11017
2019-10-23 
Стержень массой $M$ и длиной $L$ свободно падает в вертикальной плоскости, как показано на рисунке. В начальном состоянии покоя стержень составлял с горизонталью угол $30^{ \circ}$. Определите давление на ось вращения стержня в тот момент, когда он проходит горизонтальное положение.
Решение:
Пусть $P_{y}$ - вертикальная составляющая реакции опоры. Сила, действующая на опору по вертикали, равна $- P_{y}$. Когда стержень проходит горизонтальное положение, он обладает кинетической энергией $I \theta^{2}/2$, которая соответствует разности потенциальных энергий стержня в начальном и конечном состояниях:
$\frac{ I \theta^{2} }{2} = \frac{1}{2} MgL \sin 30^{ \circ}$;
здесь $I$ - момент инерции стержня относительно оси вращения. Для однородного стержня, закрепленного на одном конце, $I = \frac{ML^{2}}{3}$. Следовательно,
$\frac{1}{6} ML^{2} \dot{ \theta}^{2} = \frac{1}{4} MgL$. (1)
Ордината центра масс стержня $y = \frac{L}{2} \sin \theta$, и мы имеем
$\dot{y} = \frac{1}{2} L \dot{ \theta} \cos \theta$ и $\ddot{y} = \frac{1}{2} L ( \ddot{ \theta} \cos \theta - \dot{ \theta}^{2} \sin \theta)$.
Уравнение движения центра масс стержня имеет вид
$Mg - P_{y} = M \ddot{y} = \frac{1}{2} ML ( \ddot{ \theta} \cos \theta - \dot{ \theta}^{2} \sin \theta)$. (2)
При горизонтальном положении стержня $\dot{ \theta}^{2} \sin \theta = 0$. Вращательное движение стержня относительно центра масс описывается уравнением
$\frac{1}{2} LP_{y} \cos \theta = I_{ц.м.} \ddot{ \theta}$.
Подставляя сюда $I_{ц.м.} = \frac{ML^{2}}{12}$, получаем
$P_{y} \cos \theta = \frac{1}{6} ML \ddot{ \theta}$. (3)
Подставляя $\ddot{ \theta}$ из выражения (3) в уравнение (2), получаем
$Mg - P_{y} = 2P_{y}$,
откуда
$P_{y} = \frac{Mg}{4}$. (4)
Величина $- P_{y}$ представляет собой составляющую силы, действующую вертикально вниз на ось вращения стержня. Реакцию опоры $P_{x}$ можно найти из условия, что $P_{x}$ должна быть равна центростремительной силе, действующей на стержень. В момент времени, когда стержень проходит горизонтальное положение,
$P_{x} = \int_{0}^{L} \frac{M}{L} x \dot{ \theta}^{2} dx = \frac{1}{2} ML \dot{ \theta}^{2}$. (5)
Подставляя сюда выражение для $\dot{ \theta}^{2}$ из (1), находим
$P_{x} = \frac{3}{4} Mg$.
Сила $- P_{x}$ направлена так, что она стремится сдвинуть ось вращения стержня влево.
Стержень массой $M$ и длиной $L$ свободно падает в вертикальной плоскости, как показано на рисунке. В начальном состоянии покоя стержень составлял с горизонталью угол $30^{ \circ}$. Определите давление на ось вращения стержня в тот момент, когда он проходит горизонтальное положение.
Решение:
Пусть $P_{y}$ - вертикальная составляющая реакции опоры. Сила, действующая на опору по вертикали, равна $- P_{y}$. Когда стержень проходит горизонтальное положение, он обладает кинетической энергией $I \theta^{2}/2$, которая соответствует разности потенциальных энергий стержня в начальном и конечном состояниях:
$\frac{ I \theta^{2} }{2} = \frac{1}{2} MgL \sin 30^{ \circ}$;
здесь $I$ - момент инерции стержня относительно оси вращения. Для однородного стержня, закрепленного на одном конце, $I = \frac{ML^{2}}{3}$. Следовательно,
$\frac{1}{6} ML^{2} \dot{ \theta}^{2} = \frac{1}{4} MgL$. (1)
Ордината центра масс стержня $y = \frac{L}{2} \sin \theta$, и мы имеем
$\dot{y} = \frac{1}{2} L \dot{ \theta} \cos \theta$ и $\ddot{y} = \frac{1}{2} L ( \ddot{ \theta} \cos \theta - \dot{ \theta}^{2} \sin \theta)$.
Уравнение движения центра масс стержня имеет вид
$Mg - P_{y} = M \ddot{y} = \frac{1}{2} ML ( \ddot{ \theta} \cos \theta - \dot{ \theta}^{2} \sin \theta)$. (2)
При горизонтальном положении стержня $\dot{ \theta}^{2} \sin \theta = 0$. Вращательное движение стержня относительно центра масс описывается уравнением
$\frac{1}{2} LP_{y} \cos \theta = I_{ц.м.} \ddot{ \theta}$.
Подставляя сюда $I_{ц.м.} = \frac{ML^{2}}{12}$, получаем
$P_{y} \cos \theta = \frac{1}{6} ML \ddot{ \theta}$. (3)
Подставляя $\ddot{ \theta}$ из выражения (3) в уравнение (2), получаем
$Mg - P_{y} = 2P_{y}$,
откуда
$P_{y} = \frac{Mg}{4}$. (4)
Величина $- P_{y}$ представляет собой составляющую силы, действующую вертикально вниз на ось вращения стержня. Реакцию опоры $P_{x}$ можно найти из условия, что $P_{x}$ должна быть равна центростремительной силе, действующей на стержень. В момент времени, когда стержень проходит горизонтальное положение,
$P_{x} = \int_{0}^{L} \frac{M}{L} x \dot{ \theta}^{2} dx = \frac{1}{2} ML \dot{ \theta}^{2}$. (5)
Подставляя сюда выражение для $\dot{ \theta}^{2}$ из (1), находим
$P_{x} = \frac{3}{4} Mg$.
Сила $- P_{x}$ направлена так, что она стремится сдвинуть ось вращения стержня влево.
