Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11016
2019-10-23 
На шероховатой плоскости, наклоненной под углом $\theta$ ($tg \theta = \mu$, где $\mu$ - коэффициент трения как покоя, так и скольжения), расположена частица. К частице прикреплена нить, проходящая через небольшое отверстие в наклонной плоскости. Нить очень медленно подтягивают, и можно считать, что частица все время находится в почти статическом равновесии. Определите траекторию частицы на наклонной плоскости.
Решение:
Введем три единичных вектора: $\hat{x}_{1}$ - в направлении кратчайшего спуска по наклонной плоскости, $\hat{s}_{1}$ - в направлении касательной к траектории частицы и $\hat{t}_{1}$ - вдоль нити по направлению к отверстию (см. рисунок).
Условие квазистатического равновесия частицы, когда она едва движется, записывается в виде
$\vec{T} + mg \sin \theta \hat{x}_{1} + \vec{F}_{f} = 0$; (1)
здесь $\vec{F}_{f}$ - сила трения, действующая на частицу со стороны плоскости и всегда противоположная направлению движения, а $\vec{T}$ - натяжение нити. По определению $\vec{F}_{f} = - \mu F_{n} \hat{s}_{1}$. Подставляя сюда $F_{n} = mg \cos \theta$ и $\mu = tg \theta$, получаем
$\vec{F}_{f} = - mg \sin \theta \hat{s}_{1}$.
Теперь уравнение (1) принимает вид
$\vec{T} + mg \sin \theta \hat{x}_{1} = mg \sin \theta \hat{s}_{1}$. (2)
Возведем обе части уравнения (2) в квадрат:
$T^{2} + m^{2}g^{2} \sin^{2} \theta + 2Tmg \sin \theta ( \hat{t}_{1} \cdot \hat{x}_{1}) = m^{2}g^{2} \sin^{2} \theta$.
После упрощения получаем
$T(T + 2mg \sin \theta \cos \delta) = 0$, (3)
где $\cos \delta =( \hat{t}_{1} \cdot \hat{x}_{1})$. Если частица находится выше отверстия, т. е. когда
$0 \leq \delta \leq \frac{ \pi}{2}$ и $0 \leq \cos \delta \leq 1$,
то из уравнения (3) следует что $T \leq 0$. Таким образом, поскольку натяжение нити $T$ не может быть отрицательным, принимаем $T = 0$.
Если же частица находится ниже отверстия, т. е. когда
$\frac{ \pi }{2} \leq \delta \leq \pi$ и $-1 \leq \cos \delta \leq 0$,
то натяжение $T$ оказывается положительным:
$T = - 2mg \sin \theta \cos \delta > 0$.
Траекторию частицы определяет результирующая сила
$\vec{F} = \vec{T} + mg \sin \theta \hat{x}_{1} = mg \sin \theta ( \hat{x}_{1} - 2 \cos \delta \hat{t}_{1}) = mg \sin \theta [ \hat{x}_{1} + 2 \cos \delta ( \sin \delta \hat{y}_{1} - \cos \delta \hat{x}_{1} ) ] = mg \sin \theta [(1 - 2 \cos^{2} \delta ) \hat{x}_{1} + 2 \cos \delta \sin \delta \hat{y}_{1} ] = mg \sin \theta \cos 2 \delta ( - \hat{x}_{1} + tg 2 \delta \hat{y}_{1} )$. (4)
Направление $\hat{y}_{1}$ показано на рисунке, приведенном ниже.
Траекторию частицы можно построить следующим образом. На участке от А до В натяжение нити бесконечно мало (но положительно) и частица просто соскальзывает вниз по наклонной плоскости. Пусть $\delta \geq \pi /2$; из (4) мы получаем уравнение
$\frac{dy}{dx} = - tg 2 \delta = - \frac{2 \sin \delta \cos \delta}{ \cos^{2} \delta - \sin^{2} \delta } = \frac{2xy}{x^{2} - y^{2} }$, (5)
где
$x = r \cos ( \pi - \delta ) = - r \cos \delta$ и $y = r \sin ( \pi - \delta ) = r \sin \delta$.
Это уравнение можно преобразовать к виду
$(x^{2} - y^{2})dy - 2xy dx = 0$. (6)
Оно имеет следующее решение:
$\frac{x^{2}}{y} + y = C$, или $x^{2} + \left ( y - \frac{C}{2} \right )^{2} = \frac{C^{2} }{4}$, (7)
где $C$ - постоянная, определяемая из условия $C=y=BP$ при $x=0$.
Таким образом, траектория частицы между точками В и Р, описываемая уравнением (7), представляет собой полуокружность радиусом $C/2$ с центром в точке $x=0, y=C/2$.
На шероховатой плоскости, наклоненной под углом $\theta$ ($tg \theta = \mu$, где $\mu$ - коэффициент трения как покоя, так и скольжения), расположена частица. К частице прикреплена нить, проходящая через небольшое отверстие в наклонной плоскости. Нить очень медленно подтягивают, и можно считать, что частица все время находится в почти статическом равновесии. Определите траекторию частицы на наклонной плоскости.
Решение:
Введем три единичных вектора: $\hat{x}_{1}$ - в направлении кратчайшего спуска по наклонной плоскости, $\hat{s}_{1}$ - в направлении касательной к траектории частицы и $\hat{t}_{1}$ - вдоль нити по направлению к отверстию (см. рисунок).
Условие квазистатического равновесия частицы, когда она едва движется, записывается в виде
$\vec{T} + mg \sin \theta \hat{x}_{1} + \vec{F}_{f} = 0$; (1)
здесь $\vec{F}_{f}$ - сила трения, действующая на частицу со стороны плоскости и всегда противоположная направлению движения, а $\vec{T}$ - натяжение нити. По определению $\vec{F}_{f} = - \mu F_{n} \hat{s}_{1}$. Подставляя сюда $F_{n} = mg \cos \theta$ и $\mu = tg \theta$, получаем
$\vec{F}_{f} = - mg \sin \theta \hat{s}_{1}$.
Теперь уравнение (1) принимает вид
$\vec{T} + mg \sin \theta \hat{x}_{1} = mg \sin \theta \hat{s}_{1}$. (2)
Возведем обе части уравнения (2) в квадрат:
$T^{2} + m^{2}g^{2} \sin^{2} \theta + 2Tmg \sin \theta ( \hat{t}_{1} \cdot \hat{x}_{1}) = m^{2}g^{2} \sin^{2} \theta$.
После упрощения получаем
$T(T + 2mg \sin \theta \cos \delta) = 0$, (3)
где $\cos \delta =( \hat{t}_{1} \cdot \hat{x}_{1})$. Если частица находится выше отверстия, т. е. когда
$0 \leq \delta \leq \frac{ \pi}{2}$ и $0 \leq \cos \delta \leq 1$,
то из уравнения (3) следует что $T \leq 0$. Таким образом, поскольку натяжение нити $T$ не может быть отрицательным, принимаем $T = 0$.
Если же частица находится ниже отверстия, т. е. когда
$\frac{ \pi }{2} \leq \delta \leq \pi$ и $-1 \leq \cos \delta \leq 0$,
то натяжение $T$ оказывается положительным:
$T = - 2mg \sin \theta \cos \delta > 0$.
Траекторию частицы определяет результирующая сила
$\vec{F} = \vec{T} + mg \sin \theta \hat{x}_{1} = mg \sin \theta ( \hat{x}_{1} - 2 \cos \delta \hat{t}_{1}) = mg \sin \theta [ \hat{x}_{1} + 2 \cos \delta ( \sin \delta \hat{y}_{1} - \cos \delta \hat{x}_{1} ) ] = mg \sin \theta [(1 - 2 \cos^{2} \delta ) \hat{x}_{1} + 2 \cos \delta \sin \delta \hat{y}_{1} ] = mg \sin \theta \cos 2 \delta ( - \hat{x}_{1} + tg 2 \delta \hat{y}_{1} )$. (4)
Направление $\hat{y}_{1}$ показано на рисунке, приведенном ниже.
Траекторию частицы можно построить следующим образом. На участке от А до В натяжение нити бесконечно мало (но положительно) и частица просто соскальзывает вниз по наклонной плоскости. Пусть $\delta \geq \pi /2$; из (4) мы получаем уравнение
$\frac{dy}{dx} = - tg 2 \delta = - \frac{2 \sin \delta \cos \delta}{ \cos^{2} \delta - \sin^{2} \delta } = \frac{2xy}{x^{2} - y^{2} }$, (5)
где
$x = r \cos ( \pi - \delta ) = - r \cos \delta$ и $y = r \sin ( \pi - \delta ) = r \sin \delta$.
Это уравнение можно преобразовать к виду
$(x^{2} - y^{2})dy - 2xy dx = 0$. (6)
Оно имеет следующее решение:
$\frac{x^{2}}{y} + y = C$, или $x^{2} + \left ( y - \frac{C}{2} \right )^{2} = \frac{C^{2} }{4}$, (7)
где $C$ - постоянная, определяемая из условия $C=y=BP$ при $x=0$.
Таким образом, траектория частицы между точками В и Р, описываемая уравнением (7), представляет собой полуокружность радиусом $C/2$ с центром в точке $x=0, y=C/2$.
