Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11015
2019-10-23 
Нестабильная частица с энергией покоя 1000 МэВ и средним временем жизни в состоянии покоя $10^{-8} с$ распадается на мю-мезон ($m_{ \mu}c^{2} = 100 МэВ$) и нейтрино.
а) Вычислите среднюю длину распада, если частица имеет импульс 1000 МэВ/с.
б) Какова энергия мю-мезона в последнем случае, если он испущен под углом $15^{ \circ}$?
Решение:
а) Частица имеет массу покоя $m_{0} = 1000 МэВ/с^{2}$ и обладает импульсом $P = 1000 МэВ/с$. Скорость частицы равна (В формуле (1) $m = \sqrt{2} m_{0}$. Это следует из релятивистского соотношения $mc^{2} = \sqrt{P^{2}x^{2} + m_{0}^{2}c^{4}}$.)
$v = \frac{Pc^{2} }{mc^{2} } = \frac{1000}{ \sqrt{2} \cdot 1000 } c = \frac{c}{ \sqrt{2} }$. (1)
Найдем среднее время жизни частицы:
$\bar{T} = (1 - \beta^{2})^{-1/2} T_{0} = \frac{m}{m_{0} } T_{0} = \sqrt{2} \cdot 10^{-8} с$. (2)
Следовательно, средняя длина распада частицы равна
$\bar{S} = v \bar{T} = 300 см$.
б) Введем 4-векторы:
$P_{x} = ( \vec{P}_{x}, j E_{x}), P_{ \mu} = ( \vec{P}_{ \mu}, jE_{ \mu} )$ и $P_{ \nu} = ( \vec{P}_{ \nu} , j E_{ \nu})$. (3)
В соответствии с законом сохранения энергии и импульса имеем
$P_{ \nu} = P_{x} - P_{ \mu}$. (4)
Возведем обе части уравнения (4) в квадрат:
$P_{ \nu}^{2} = (P_{x} - P_{ \mu} )^{2}$,
или
$0 = - m_{x}^{2} - m_{ \mu}^{2} + 2E_{x}E_{ \mu} - 2 | \vec{P}_{x} | \cdot | \vec{P}_{ \mu} | \cdot 15^{ \circ}$.
Подставляя известные значения $E_{x}, | \vec{P}_{ \mu} |, m_{ \mu}$ и $m_{x}$, получаем
$2000 \sqrt{2} E_{ \mu} - 2000 | \vec{P}_{ \mu} | \cos 15^{ \circ} = 1000^{2} + 100^{2}$.
При столь высокой энергии мю-мезона членом $m_{ \mu}^{2}$ можно пренебречь и положить $E_{ \mu} \approx P_{ \mu}$. Таким образом,
$E_{ \mu} \approx \frac{500}{ \sqrt{2} - \cos 15^{ \circ}} \approx 1100 МэВ$.
Более подробно об операциях с 4-векторами см. в задаче 11005
Нестабильная частица с энергией покоя 1000 МэВ и средним временем жизни в состоянии покоя $10^{-8} с$ распадается на мю-мезон ($m_{ \mu}c^{2} = 100 МэВ$) и нейтрино.
а) Вычислите среднюю длину распада, если частица имеет импульс 1000 МэВ/с.
б) Какова энергия мю-мезона в последнем случае, если он испущен под углом $15^{ \circ}$?
Решение:
а) Частица имеет массу покоя $m_{0} = 1000 МэВ/с^{2}$ и обладает импульсом $P = 1000 МэВ/с$. Скорость частицы равна (В формуле (1) $m = \sqrt{2} m_{0}$. Это следует из релятивистского соотношения $mc^{2} = \sqrt{P^{2}x^{2} + m_{0}^{2}c^{4}}$.)
$v = \frac{Pc^{2} }{mc^{2} } = \frac{1000}{ \sqrt{2} \cdot 1000 } c = \frac{c}{ \sqrt{2} }$. (1)
Найдем среднее время жизни частицы:
$\bar{T} = (1 - \beta^{2})^{-1/2} T_{0} = \frac{m}{m_{0} } T_{0} = \sqrt{2} \cdot 10^{-8} с$. (2)
Следовательно, средняя длина распада частицы равна
$\bar{S} = v \bar{T} = 300 см$.
б) Введем 4-векторы:
$P_{x} = ( \vec{P}_{x}, j E_{x}), P_{ \mu} = ( \vec{P}_{ \mu}, jE_{ \mu} )$ и $P_{ \nu} = ( \vec{P}_{ \nu} , j E_{ \nu})$. (3)
В соответствии с законом сохранения энергии и импульса имеем
$P_{ \nu} = P_{x} - P_{ \mu}$. (4)
Возведем обе части уравнения (4) в квадрат:
$P_{ \nu}^{2} = (P_{x} - P_{ \mu} )^{2}$,
или
$0 = - m_{x}^{2} - m_{ \mu}^{2} + 2E_{x}E_{ \mu} - 2 | \vec{P}_{x} | \cdot | \vec{P}_{ \mu} | \cdot 15^{ \circ}$.
Подставляя известные значения $E_{x}, | \vec{P}_{ \mu} |, m_{ \mu}$ и $m_{x}$, получаем
$2000 \sqrt{2} E_{ \mu} - 2000 | \vec{P}_{ \mu} | \cos 15^{ \circ} = 1000^{2} + 100^{2}$.
При столь высокой энергии мю-мезона членом $m_{ \mu}^{2}$ можно пренебречь и положить $E_{ \mu} \approx P_{ \mu}$. Таким образом,
$E_{ \mu} \approx \frac{500}{ \sqrt{2} - \cos 15^{ \circ}} \approx 1100 МэВ$.
Более подробно об операциях с 4-векторами см. в задаче 11005
