Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11014
2019-10-23 
Шарик массой $M$ и радиусом $a$ скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\delta$.
а) Определите ускорение центра масс шарика.
б) Если шарик толкнуть вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью $v_{0}$, то через какой промежуток времени он вернется в исходную точку?
Решение:
а) Пусть Р - положение мгновенного центра вращения шарика на наклонной плоскости в момент времени $t$. Вращение шарика относительно этого центра описывается уравнением
$- Mga \sin \delta = I_{0} \ddot{ \theta}$, (1)
где $I_{0}$ - момент инерции шарика относительно оси, проходящей через точку Р. Согласно теореме о параллельных осях, имеем
$I_{0} = \frac{2}{5} Ma^{2} + Ma^{2} = \frac{7}{5} Ma^{2}$.
Следовательно, ускорение центра масс шарика равно
$\ddot{x} = a \ddot{ \theta} = - \frac{5}{7} g \sin \delta$. (2)
б) Из закона сохранения энергии следует, что в исходной точке шарик должен обладать той же скоростью $v_{0}$, с которой его толкнули, но противоположно направленной. Для движения с постоянным ускорением
$v_{f} = v_{i} + \ddot{x}t$, (3)
где $v_{i}$ и $v_{f}$ - начальная и конечная скорости соответственно. Подставляя сюда $v_{f} = -v_{0}, v_{i} = v_{0}$ и $\ddot{x} = - \frac{5}{7} g \sin \delta$, получаем
$2v_{0} = \frac{5}{7} gt \sin \delta$, (4)
откуда
$t = \frac{14v_{0} }{5g \sin \delta}$. (5)
Шарик массой $M$ и радиусом $a$ скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\delta$.
а) Определите ускорение центра масс шарика.
б) Если шарик толкнуть вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью $v_{0}$, то через какой промежуток времени он вернется в исходную точку?
Решение:
а) Пусть Р - положение мгновенного центра вращения шарика на наклонной плоскости в момент времени $t$. Вращение шарика относительно этого центра описывается уравнением
$- Mga \sin \delta = I_{0} \ddot{ \theta}$, (1)
где $I_{0}$ - момент инерции шарика относительно оси, проходящей через точку Р. Согласно теореме о параллельных осях, имеем
$I_{0} = \frac{2}{5} Ma^{2} + Ma^{2} = \frac{7}{5} Ma^{2}$.
Следовательно, ускорение центра масс шарика равно
$\ddot{x} = a \ddot{ \theta} = - \frac{5}{7} g \sin \delta$. (2)
б) Из закона сохранения энергии следует, что в исходной точке шарик должен обладать той же скоростью $v_{0}$, с которой его толкнули, но противоположно направленной. Для движения с постоянным ускорением
$v_{f} = v_{i} + \ddot{x}t$, (3)
где $v_{i}$ и $v_{f}$ - начальная и конечная скорости соответственно. Подставляя сюда $v_{f} = -v_{0}, v_{i} = v_{0}$ и $\ddot{x} = - \frac{5}{7} g \sin \delta$, получаем
$2v_{0} = \frac{5}{7} gt \sin \delta$, (4)
откуда
$t = \frac{14v_{0} }{5g \sin \delta}$. (5)
