Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11013
2019-10-23 
Полагают, что можно получить моноэнергетические фотоны высоких энергий путем рассеяния лазерного излучения на пучке быстрых электронов, выходящих из электронного ускорителя. Выведите формулу для максимальной энергии каждого из рассеиваемых фотонов в зависимости от энергии фотонов лазерного излучения и энергии электронов в пучке. Выполните численные расчеты в случае излучения рубинового лазера, которое рассеивается на электронах с энергией 20 ГэВ, получаемых от Стэнфордского линейного ускорителя.
Решение:
Введем следующие 4-векторы, условившись считать $c = 1$ и $j = \sqrt{ - 1}$:
$P_{1} = ( \vec{P}_{1}, jE_{1} ), P_{3} = ( \vec{P}_{3}, j E_{3})$,
$P_{2} = ( \vec{P}_{2}, j|P_{2}| ), P_{4} = ( \vec{P}_{4}, j|P_{4}|)$,
(Для фотонов $E_{2} =| \vec{P}_{2}|$ и $E_{4}= | \vec{P}_{4}|$. В дальнейших формулах $\theta_{12}$ обозначает угол между направлениями импульсов электрона и фотона до рассеяния, $\theta_{14}$ - угол между направлениями импульсов налетающего электрона и рассеянного фотона, $\theta_{24}$ - угол рассеяния фотона. Приводимый в данной задаче рисунок поясняет рассеяние фотонов на встречном пучке быстрых электронов, когда $\theta_{12} = \theta_{24} = \pi$ и $\theta_{14} = 0$.)
Из законов сохранения импульса и энергии следует
$P_{1} + P_{2} = P_{3} + P_{4}$, (1)
или
$P_{3} = P_{1} + P_{2} - P_{4}$.
После возведения в квадрат получаем
$- m_{e}^{2} = - m_{e}^{2} + 2( E_{1} - | \vec{P}_{1} \cos \theta_{14} )E_{4} - 2( E_{1} -| \vec{P}_{1}| \cos \theta_{12})E_{2} + 2(1 - \cos \theta_{24}) E_{2}E_{4}$.
(Замечание. Вернитесь к решению задачи 11005 и обратите внимание на некоторые отличия, возникшие на данном этапе решения.) Отсюда находим $E_{4}$:
$E_{4} = \frac{(E_{1} - | \vec{P}_{1} | \cos \theta_{12} ) E_{2} }{ (E_{1} - | \vec{P}_{1} | \cos \theta_{14} ) + (1 - \cos \theta_{24} ) E_{2} }$. (2)
При энергии электронов 20 ГэВ величина $m_{e}$ ничтожно мала по сравнению с $E_{1}$, следовательно, $E_{1} \approx | \vec{P}_{1} |$. Чтобы получить максимальную величину $E_{4}$, следует принять $\cos \theta_{12} = -1, \cos \theta_{14} = 1$ и $\cos \theta_{24} = -1$. При этом вектор $\vec{P}_{4}$ по направлению совпадает с $\vec{P}_{1}$ и противоположен $\vec{P}_{2}$.
Из (2) следует
$E_{4} \approx \frac{2E_{1} }{2E_{2} } E_{2} = E_{1}$,
т. е. энергия рассеянного фотона почти совпадает с энергией встречного электрона.
Полагают, что можно получить моноэнергетические фотоны высоких энергий путем рассеяния лазерного излучения на пучке быстрых электронов, выходящих из электронного ускорителя. Выведите формулу для максимальной энергии каждого из рассеиваемых фотонов в зависимости от энергии фотонов лазерного излучения и энергии электронов в пучке. Выполните численные расчеты в случае излучения рубинового лазера, которое рассеивается на электронах с энергией 20 ГэВ, получаемых от Стэнфордского линейного ускорителя.
Решение:
Введем следующие 4-векторы, условившись считать $c = 1$ и $j = \sqrt{ - 1}$:
$P_{1} = ( \vec{P}_{1}, jE_{1} ), P_{3} = ( \vec{P}_{3}, j E_{3})$,
$P_{2} = ( \vec{P}_{2}, j|P_{2}| ), P_{4} = ( \vec{P}_{4}, j|P_{4}|)$,
(Для фотонов $E_{2} =| \vec{P}_{2}|$ и $E_{4}= | \vec{P}_{4}|$. В дальнейших формулах $\theta_{12}$ обозначает угол между направлениями импульсов электрона и фотона до рассеяния, $\theta_{14}$ - угол между направлениями импульсов налетающего электрона и рассеянного фотона, $\theta_{24}$ - угол рассеяния фотона. Приводимый в данной задаче рисунок поясняет рассеяние фотонов на встречном пучке быстрых электронов, когда $\theta_{12} = \theta_{24} = \pi$ и $\theta_{14} = 0$.)
Из законов сохранения импульса и энергии следует
$P_{1} + P_{2} = P_{3} + P_{4}$, (1)
или
$P_{3} = P_{1} + P_{2} - P_{4}$.
После возведения в квадрат получаем
$- m_{e}^{2} = - m_{e}^{2} + 2( E_{1} - | \vec{P}_{1} \cos \theta_{14} )E_{4} - 2( E_{1} -| \vec{P}_{1}| \cos \theta_{12})E_{2} + 2(1 - \cos \theta_{24}) E_{2}E_{4}$.
(Замечание. Вернитесь к решению задачи 11005 и обратите внимание на некоторые отличия, возникшие на данном этапе решения.) Отсюда находим $E_{4}$:
$E_{4} = \frac{(E_{1} - | \vec{P}_{1} | \cos \theta_{12} ) E_{2} }{ (E_{1} - | \vec{P}_{1} | \cos \theta_{14} ) + (1 - \cos \theta_{24} ) E_{2} }$. (2)
При энергии электронов 20 ГэВ величина $m_{e}$ ничтожно мала по сравнению с $E_{1}$, следовательно, $E_{1} \approx | \vec{P}_{1} |$. Чтобы получить максимальную величину $E_{4}$, следует принять $\cos \theta_{12} = -1, \cos \theta_{14} = 1$ и $\cos \theta_{24} = -1$. При этом вектор $\vec{P}_{4}$ по направлению совпадает с $\vec{P}_{1}$ и противоположен $\vec{P}_{2}$.
Из (2) следует
$E_{4} \approx \frac{2E_{1} }{2E_{2} } E_{2} = E_{1}$,
т. е. энергия рассеянного фотона почти совпадает с энергией встречного электрона.
