ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-23   
Частица массой $m$ движется в поле центральной силы с потенциалом $V(r) = Kr^{3}$ ($K > 0$).
а) Определите кинетическую энергию и момент импульса частицы при движении ее по круговой орбите (радиусом $a$).
б) Чему равен период такого кругового движения?
в) Каков период малых радиальных колебаний частицы относительно $r=a$, если ее движение под действием возмущений слегка отклонилось от кругового?


Решение:


а) В случае круговой орбиты сила притяжения $- dV/dr$ должна быть равна центростремительной силе:

$\frac{v^{2} }{r} = 3Kr^{2}$,

откуда

$v = r \sqrt{3Kr} = a \sqrt{3Ka}$. (1)

При этом кинетическая энергия частицы дается выражением

$T = \frac{1}{2} mv^{2} = \frac{3Kmr^{3} }{2} = \frac{3Kma^{3} }{2}$, (2)

а момент импульса частицы

$J = mt^{2} \dot{ \theta} = mrv = mr^{2} \sqrt{3Kr} = ma^{2} \sqrt{3Ka}$, (3)

где использовано соотношение $\dot{ \theta} = v/r = v/a$.

б) Зная угловую скорость $\dot{ \theta} = \sqrt{3Ka}$, находим период кругового движения

$T = \frac{2 \pi}{ \dot{ \theta} } = \frac{2 \pi}{ \sqrt{3Ka} }$.

в) После воздействия возмущения расстояние частицы от центра будет меняться вблизи $r = a$ по некоторому закону $r = r(t)$. Запишем $r$ в виде $r = a + x$, где $x$ - малая величина. Движение по $x$ в первом приближении описывается уравнением

$\ddot{x} + \left [ \frac{3V^{ \prime}(a) }{a} + V^{ \prime \prime}(a) \right ] x = 0$, (4)

где

$V^{ \prime} (a) = \left . \frac{dV(r)}{dr} \right |_{r = a} = 3Ka^{2}$,
$V^{ \prime \prime} (a) = \left . \frac{d^{2} V(r)}{dr^{2} } \right |_{r = a} = 6Ka$.

Подставляя полученные выражения для $V^{ \prime}(a)$ и $V^{ \prime \prime}(a)$ в (4), приходим к уравнению гармонического осциллятора

$\ddot{x} + 15Kax = 0$

с частотой

$\omega = \sqrt{15Ka}$.