Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11011
2019-10-23 
а) Сколь огромную энергию пришлось бы затратить, чтобы «разнести» всю Землю (т. е. удалить все ее составные части на $\infty$)?
б) Предположим, что затем произошло бы быстрое (без потерь энергии на излучение) воссоединение разнесенных на бесконечность этих частей Земли. Расплавилась бы она? Свой ответ обоснуйте.
Решение:
а) Будем производить эту разрушительную работу постепенно, удаляя каждый раз с Земли тонкий слой толщиной $dr$. Чтобы удалить такой слой на бесконечность, нужно затратить энергию, или совершить работу, численно равную потенциальной энергии взаимодействия этого слоя с оставшейся массой, но взятую с обратным знаком:
$d(Работа) = - d(Потенц. эн.) = G \frac{M_{r}dm_{r} }{r}$, (1)
где $M_{r} = (4 \pi/3) \rho r^{3}$ - масса, заключенная внутри сферы радиусом $r dm_{r} = - 4 \pi \rho r^{2} dr$ - масса сферического слоя толщиной - $dr$ и радиусом $r$, а $\rho$ - плотность Земли. После подстановки получаем
$d (Работа) = - d(Потенц. эн.) = - G \frac{16 \pi^{2} }{3} \rho^{2} r^{4} dr $. (2)
Полная работа, которую необходимо произвести, равна интегралу от правой части равенства (2) в пределах от $r = R$ до $r = 0$:
$Работа = \frac{-G(4 \pi )^{2} }{3} \rho^{2} \int_{R}^{0} r^{4} dr = \frac{G(4 \pi)^{2} }{8} \rho^{2} \frac{R^{5} }{5} = \frac{3}{5} G \frac{M^{2} }{R}$; (3)
здесь $M$ - масса, a $R$ - радиус Земли.
б) Предположим, что вся потенциальная энергия $\frac{3}{5} \frac{GM^{2}}{R}$ преобразуется в тепловую. Считая теплоемкость Земли постоянной, приходим к следующему соотношению:
$\frac{3}{5} G \frac{M^{2} }{R} = MC_{V} \Delta T$, (4)
где $\Delta T$ - приращение температуры Земли вследствие поглощения ею выделенного тепла. Полагая
$C_{V} \approx 0,3 кал/(г \cdot К) = 1,2 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$,
находим
$\Delta T = \frac{3}{5} G \frac{M}{R} \frac{1}{C_{V} } = \frac{3}{5} gR \frac{1}{C_{V} } \approx \frac{3}{5} \cdot 10 \cdot 6 \cdot 10^{6} \cdot \frac{1}{C_{V} } = \frac{36 \cdot 10^{6} }{C_{V} } \approx 3 \cdot 10^{4} К$.
Действительно, Земля бы расплавилась.
а) Сколь огромную энергию пришлось бы затратить, чтобы «разнести» всю Землю (т. е. удалить все ее составные части на $\infty$)?
б) Предположим, что затем произошло бы быстрое (без потерь энергии на излучение) воссоединение разнесенных на бесконечность этих частей Земли. Расплавилась бы она? Свой ответ обоснуйте.
Решение:
а) Будем производить эту разрушительную работу постепенно, удаляя каждый раз с Земли тонкий слой толщиной $dr$. Чтобы удалить такой слой на бесконечность, нужно затратить энергию, или совершить работу, численно равную потенциальной энергии взаимодействия этого слоя с оставшейся массой, но взятую с обратным знаком:
$d(Работа) = - d(Потенц. эн.) = G \frac{M_{r}dm_{r} }{r}$, (1)
где $M_{r} = (4 \pi/3) \rho r^{3}$ - масса, заключенная внутри сферы радиусом $r dm_{r} = - 4 \pi \rho r^{2} dr$ - масса сферического слоя толщиной - $dr$ и радиусом $r$, а $\rho$ - плотность Земли. После подстановки получаем
$d (Работа) = - d(Потенц. эн.) = - G \frac{16 \pi^{2} }{3} \rho^{2} r^{4} dr $. (2)
Полная работа, которую необходимо произвести, равна интегралу от правой части равенства (2) в пределах от $r = R$ до $r = 0$:
$Работа = \frac{-G(4 \pi )^{2} }{3} \rho^{2} \int_{R}^{0} r^{4} dr = \frac{G(4 \pi)^{2} }{8} \rho^{2} \frac{R^{5} }{5} = \frac{3}{5} G \frac{M^{2} }{R}$; (3)
здесь $M$ - масса, a $R$ - радиус Земли.
б) Предположим, что вся потенциальная энергия $\frac{3}{5} \frac{GM^{2}}{R}$ преобразуется в тепловую. Считая теплоемкость Земли постоянной, приходим к следующему соотношению:
$\frac{3}{5} G \frac{M^{2} }{R} = MC_{V} \Delta T$, (4)
где $\Delta T$ - приращение температуры Земли вследствие поглощения ею выделенного тепла. Полагая
$C_{V} \approx 0,3 кал/(г \cdot К) = 1,2 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$,
находим
$\Delta T = \frac{3}{5} G \frac{M}{R} \frac{1}{C_{V} } = \frac{3}{5} gR \frac{1}{C_{V} } \approx \frac{3}{5} \cdot 10 \cdot 6 \cdot 10^{6} \cdot \frac{1}{C_{V} } = \frac{36 \cdot 10^{6} }{C_{V} } \approx 3 \cdot 10^{4} К$.
Действительно, Земля бы расплавилась.
