Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11009
2019-10-23 
Упругая струна длиной $L$ подвешена между двумя опорами. Натяжение струны $T$, а ее линейная плотность $\rho$. Общая масса струны $M = \rho L$. Колебания струны возбуждаются ударом молоточка, который сообщает небольшому участку длиной $a$ в середине струны поперечную скорость доопределите амплитуды первых трех низкочастотных гармоник.
Решение:
Движение струны описывается уравнением
$\frac{ \partial^{2} y}{ \partial t^{2} } - \frac{T}{ \rho} \frac{ \partial^{2}y }{ \partial x^{2} } = 0$, (1)
где $T$ - натяжение, а $\rho$ - линейная плотность струны.
Начальные условия при $t = 0$ записываются в виде $y = 0$ при всех значениях $x$,
$\dot{y} = \begin{cases} 0 \: при \: \left ( \frac{L}{2} + \frac{a}{2} \right ) < x < \left ( \frac{L}{2} - \frac{a}{2} \right ), \\ v_{0} \: при \: \left ( \frac{L}{2} - \frac{a}{2} \right ) < x < \left ( \frac{L}{2} + \frac{a}{2} \right ) \end{cases}$
Запишем общее решение уравнения (1):
$y = \sum_{n = 1}^{ \infty} \left ( A_{n} \cos \frac{n \pi}{L} \sqrt{ \frac{T}{ \rho} } t + B_{n} \sin \frac{n \pi}{L} \sqrt{ \frac{T}{ \rho} } t \right ) \cdot \sin \frac{n \pi}{L} x$. (2)
При $t = 0$ имеем $y = 0$. Следовательно,
$\sum_{n = 1}^{ \infty} A_{n} \sin \frac{n \pi}{L} x = 0$ при любом значении $x$.
Это справедливо только в том случае, когда все коэффициенты $A_{n}$ равны нулю:
$A_{n} = 0$ при любом значении $n$. (3)
Таким образом, из решения (2) имеем
$\dot{y}(x) = \sum_{n = 1}^{ \infty} B_{n} \frac{n \pi}{L} \sqrt{ \frac{T}{ \rho} } \sin \frac{n \pi x}{L}$ ($t = 0$). (4)
Отсюда следует
$B_{n} = \frac{2}{ n \pi} \sqrt{ \frac{ \rho}{T} } \int_{0}^{L} \dot{y}(x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx = \frac{2v_{0} }{ n \pi} \sqrt{ \frac{ \rho}{T} } \int_{(L - a)/2}^{(L+a)/2} \sin \frac{n \pi x}{L} dx = \frac{2v_{0}L }{n^{2} \pi^{2} } \sqrt{ \frac{ \rho}{T} } \left \{ \cos \left [ \frac{n \pi}{2} \left ( 1 - \frac{a}{L} \right ) \right ] - \cos \left [ \frac{n \pi}{2} \left ( 1 + \frac{a}{L} \right ) \right ] \right \}$. (5)
Искомые амплитуды $B_{1}, B_{2}$ и $B_{3}$ первых трех низкочастотных гармоник можно определить, подставляя в (5) значения $n = 1, 2$ и 3
Дальнейшее упрощение формулы (5) дает
$B_{n} = \frac{4v_{0}L }{n^{2} \pi^{2} } \sqrt{ \frac{ \rho }{T}} \sin \frac{n \pi }{2} \sin \frac{n \pi a}{2L} \approx \frac{2v_{0}a }{n \pi} \sqrt{ \frac{ \rho }{T} } \sin \frac{n \pi}{2}$.
В результате имеем
$B_{1} = \frac{2v_{0}a }{ \pi} \sqrt{ \frac{ \rho}{T} }, B_{2} = 0, |B_{3} | = B_{1/3}$ ).
Упругая струна длиной $L$ подвешена между двумя опорами. Натяжение струны $T$, а ее линейная плотность $\rho$. Общая масса струны $M = \rho L$. Колебания струны возбуждаются ударом молоточка, который сообщает небольшому участку длиной $a$ в середине струны поперечную скорость доопределите амплитуды первых трех низкочастотных гармоник.
Решение:
Движение струны описывается уравнением
$\frac{ \partial^{2} y}{ \partial t^{2} } - \frac{T}{ \rho} \frac{ \partial^{2}y }{ \partial x^{2} } = 0$, (1)
где $T$ - натяжение, а $\rho$ - линейная плотность струны.
Начальные условия при $t = 0$ записываются в виде $y = 0$ при всех значениях $x$,
$\dot{y} = \begin{cases} 0 \: при \: \left ( \frac{L}{2} + \frac{a}{2} \right ) < x < \left ( \frac{L}{2} - \frac{a}{2} \right ), \\ v_{0} \: при \: \left ( \frac{L}{2} - \frac{a}{2} \right ) < x < \left ( \frac{L}{2} + \frac{a}{2} \right ) \end{cases}$
Запишем общее решение уравнения (1):
$y = \sum_{n = 1}^{ \infty} \left ( A_{n} \cos \frac{n \pi}{L} \sqrt{ \frac{T}{ \rho} } t + B_{n} \sin \frac{n \pi}{L} \sqrt{ \frac{T}{ \rho} } t \right ) \cdot \sin \frac{n \pi}{L} x$. (2)
При $t = 0$ имеем $y = 0$. Следовательно,
$\sum_{n = 1}^{ \infty} A_{n} \sin \frac{n \pi}{L} x = 0$ при любом значении $x$.
Это справедливо только в том случае, когда все коэффициенты $A_{n}$ равны нулю:
$A_{n} = 0$ при любом значении $n$. (3)
Таким образом, из решения (2) имеем
$\dot{y}(x) = \sum_{n = 1}^{ \infty} B_{n} \frac{n \pi}{L} \sqrt{ \frac{T}{ \rho} } \sin \frac{n \pi x}{L}$ ($t = 0$). (4)
Отсюда следует
$B_{n} = \frac{2}{ n \pi} \sqrt{ \frac{ \rho}{T} } \int_{0}^{L} \dot{y}(x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx = \frac{2v_{0} }{ n \pi} \sqrt{ \frac{ \rho}{T} } \int_{(L - a)/2}^{(L+a)/2} \sin \frac{n \pi x}{L} dx = \frac{2v_{0}L }{n^{2} \pi^{2} } \sqrt{ \frac{ \rho}{T} } \left \{ \cos \left [ \frac{n \pi}{2} \left ( 1 - \frac{a}{L} \right ) \right ] - \cos \left [ \frac{n \pi}{2} \left ( 1 + \frac{a}{L} \right ) \right ] \right \}$. (5)
Искомые амплитуды $B_{1}, B_{2}$ и $B_{3}$ первых трех низкочастотных гармоник можно определить, подставляя в (5) значения $n = 1, 2$ и 3
Дальнейшее упрощение формулы (5) дает
$B_{n} = \frac{4v_{0}L }{n^{2} \pi^{2} } \sqrt{ \frac{ \rho }{T}} \sin \frac{n \pi }{2} \sin \frac{n \pi a}{2L} \approx \frac{2v_{0}a }{n \pi} \sqrt{ \frac{ \rho }{T} } \sin \frac{n \pi}{2}$.
В результате имеем
$B_{1} = \frac{2v_{0}a }{ \pi} \sqrt{ \frac{ \rho}{T} }, B_{2} = 0, |B_{3} | = B_{1/3}$ ).
