ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-23   
В северном полушарии на широте $45^{ \circ}$ с высоты $h$ ($h$ много меньше радиуса Земли) падает покоившееся вначале тело массой $m$. В каком месте оно упадет относительно отвеса, опущенного из исходной точки? Не забудьте указать не только величину, но и направление смещения.


Решение:


В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью $\omega$, уравнение движения записывается в виде

$\vec{a} = \frac{ \vec{F}}{m} - 2 \vec{ \omega} \times \vec{v} - \vec{ \omega} \times ( \vec{ \omega} \times \vec{R} )$, (1)

где

$\frac{ \vec{F} }{m} - \vec{ \omega} \times ( \vec{ \omega} \times \vec{R} ) = \vec{g}$

- действующее ускорение свободного падения, а $\omega = 2 \pi /86400= = 7 \cdot 10^{-5} рад/с$ - угловая скорость вращения Земли. В результате уравнение (1) принимает вид

$\vec{a} = \vec{g} - 2 \vec{ \omega} \times \vec{v}$. (2)


В системе отсчета, показанной на рисунке, получаем

$a_{y} = g$, или $v_{y} = a_{y}t = gt$, (3)
$a_{x} = 2 \omega v_{y} \sin 45^{ \circ}$. (4)

Следовательно,

$\dot{x} = \int_{0}^{t} a_{x}dt = \frac{ \sqrt{2} }{2} \omega gt^{2}$

и

$x = \int_{0}^{t} \dot{x} dt = \frac{ \sqrt{2} }{6} \omega gt^{3}$. (5)

Из выражения (3) имеем

$h = \frac{1}{2}gt^{2}$, откуда $t = \sqrt{ \frac{2h}{g} }$. (6)

Подставляя выражение для $t$ в (5), находим

$x = \frac{2 \omega}{3} \sqrt{ \frac{h^{3} }{g} }$.

Тело упадет к востоку от отвеса, опущенного из исходной точки.