Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11007
2019-10-23 
Однородная балка массой $m$ и длиной $L$ поддерживается на своих концах двумя одинаковыми пружинами с жесткостью $k$. Балку приводят в движение, нажимая на один из ее концов, смещая его вниз на небольшое расстояние а и затем освобождая. Решите задачу о движении балки, вводя нормальные моды и частоты колебаний. Схематически изобразите нормальные моды.
Решение:
Пусть $b$ - длина каждой пружины в состоянии покоя (заметьте, что в поле силы тяжести она не совпадает с длиной свободной пружины: $b$ = Длина свободной пружины - $mg/2k$), а $x_{1}, x_{2}$ и $x$ - соответственно длины пружин 1 и 2 и высота центра масс стержня в момент времени $t$. Для абсолютно жесткого стержня $x_{1} + x_{2} = 2x$. В соответствии со вторым законом Ньютона имеем
$m \ddot{x} = -k(x_{1} - b ) - k (x_{2} - b )$,
или
$m \ddot{x} = - k(x_{1} + x_{2}) + 2kb$,
откуда
$\ddot{x} = - \frac{1}{m} (2kx - 2kb) = - \frac{2k}{m} (x - b)$. (1)
Положим теперь
$x_{2} = x + \frac{L}{2} \theta$ и $x_{1} = x - \frac{L}{2} \theta$.
Из уравнения
$j_{0}$ = Вращающий момент
получаем
$I \ddot{ \theta} =- k(x_{2} - b)\frac{L}{2} + k(x_{1} - b) \frac{L}{2}$,
или, поскольку $x_{2} - x_{1} = L \theta$,
$I \ddot{ \theta} = - k (x_{2} - b ) \frac{L}{2} + k(x_{1} - b) \frac{L}{2}$,
Подставляя сюда $I = \frac{mL^{2}}{12}$, получаем
$\ddot{ \theta} + \frac{6k}{m} \theta = 0$. (3)
Решения уравнений (1) и (3) записываются соответственно в виде
$x = A \cos ( \omega t + B)$, (4)
$\theta = C \cos ( \omega_{2}t + D)$, (5)
где
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{2k}{m} }$ и $\omega_{2} = \sqrt{ \frac{6k}{m} }$.
Запишем начальные условия при $t = 0$:
$x = \left ( b - \frac{a}{2} \right )$,
$\theta = \frac{a}{L}$, (6)
$\dot{ \theta} = 0$ и $\dot{ \theta} = 0$.
Подставляя (6) в (4) и (5), имеем
$b - \frac{a}{2} = A \cos B$, (7)
$0 = - A \omega_{1} \sin B$, (8)
$\frac{a}{L} = C \cos D$, (9)
$0 = - C \omega_{2} \sin D$. (10)
Из (8) и (10) следует
$B = D = 0$, (11)
а из (7) и (9) с учетом (11)
$A = b - \frac{a}{2}$ и $C = \frac{a}{L}$. (12)
После подстановки (11) и (12) в (4) и (5) получаем
$x = \frac{2b - a}{2} \cos \omega_{1}t$, где $\omega_{1} = \sqrt{ \frac{2k}{m} }$,
и
$\theta = \frac{a}{L} \cos \omega_{2}t$, где $\omega_{2} = \sqrt{ \frac{6k}{m} }$.
Обе нормальные моды колебаний определяются выражениями
$X_{1} = x_{1} + x_{2} = (2b - a) \cos \omega_{1}t$, (13)
$X_{2} = x_{2} - x_{1} = a \cos \omega_{2}t$. (14)
В случае $X_{1} = 0$ имеем $x_{2} = - x_{1}$, или моду $X_{2}$.
Если же $X_{2} = 0$, то имеем $x_{2} = x_{1}$, или моду $X_{1}$.
Однородная балка массой $m$ и длиной $L$ поддерживается на своих концах двумя одинаковыми пружинами с жесткостью $k$. Балку приводят в движение, нажимая на один из ее концов, смещая его вниз на небольшое расстояние а и затем освобождая. Решите задачу о движении балки, вводя нормальные моды и частоты колебаний. Схематически изобразите нормальные моды.
Решение:
Пусть $b$ - длина каждой пружины в состоянии покоя (заметьте, что в поле силы тяжести она не совпадает с длиной свободной пружины: $b$ = Длина свободной пружины - $mg/2k$), а $x_{1}, x_{2}$ и $x$ - соответственно длины пружин 1 и 2 и высота центра масс стержня в момент времени $t$. Для абсолютно жесткого стержня $x_{1} + x_{2} = 2x$. В соответствии со вторым законом Ньютона имеем
$m \ddot{x} = -k(x_{1} - b ) - k (x_{2} - b )$,
или
$m \ddot{x} = - k(x_{1} + x_{2}) + 2kb$,
откуда
$\ddot{x} = - \frac{1}{m} (2kx - 2kb) = - \frac{2k}{m} (x - b)$. (1)
Положим теперь
$x_{2} = x + \frac{L}{2} \theta$ и $x_{1} = x - \frac{L}{2} \theta$.
Из уравнения
$j_{0}$ = Вращающий момент
получаем
$I \ddot{ \theta} =- k(x_{2} - b)\frac{L}{2} + k(x_{1} - b) \frac{L}{2}$,
или, поскольку $x_{2} - x_{1} = L \theta$,
$I \ddot{ \theta} = - k (x_{2} - b ) \frac{L}{2} + k(x_{1} - b) \frac{L}{2}$,
Подставляя сюда $I = \frac{mL^{2}}{12}$, получаем
$\ddot{ \theta} + \frac{6k}{m} \theta = 0$. (3)
Решения уравнений (1) и (3) записываются соответственно в виде
$x = A \cos ( \omega t + B)$, (4)
$\theta = C \cos ( \omega_{2}t + D)$, (5)
где
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{2k}{m} }$ и $\omega_{2} = \sqrt{ \frac{6k}{m} }$.
Запишем начальные условия при $t = 0$:
$x = \left ( b - \frac{a}{2} \right )$,
$\theta = \frac{a}{L}$, (6)
$\dot{ \theta} = 0$ и $\dot{ \theta} = 0$.
Подставляя (6) в (4) и (5), имеем
$b - \frac{a}{2} = A \cos B$, (7)
$0 = - A \omega_{1} \sin B$, (8)
$\frac{a}{L} = C \cos D$, (9)
$0 = - C \omega_{2} \sin D$. (10)
Из (8) и (10) следует
$B = D = 0$, (11)
а из (7) и (9) с учетом (11)
$A = b - \frac{a}{2}$ и $C = \frac{a}{L}$. (12)
После подстановки (11) и (12) в (4) и (5) получаем
$x = \frac{2b - a}{2} \cos \omega_{1}t$, где $\omega_{1} = \sqrt{ \frac{2k}{m} }$,
и
$\theta = \frac{a}{L} \cos \omega_{2}t$, где $\omega_{2} = \sqrt{ \frac{6k}{m} }$.
Обе нормальные моды колебаний определяются выражениями
$X_{1} = x_{1} + x_{2} = (2b - a) \cos \omega_{1}t$, (13)
$X_{2} = x_{2} - x_{1} = a \cos \omega_{2}t$. (14)
В случае $X_{1} = 0$ имеем $x_{2} = - x_{1}$, или моду $X_{2}$.
Если же $X_{2} = 0$, то имеем $x_{2} = x_{1}$, или моду $X_{1}$.
