ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-23   
На гладкой ровной поверхности обыкновенного стола лежит тонкий однородный стержень массой $m$ и длиной $L$. На конце стержня перпендикулярно его оси действует импульс силы $F$, направленный горизонтально.
а) На какое расстояние передвинется центр масс стержня за время полного своего оборота?
б) Чему равны энергии поступательного и вращательного движений стержня и его полная ч кинетическая энергия после воздействия импульса силы? 4


Решение:



а) Пусть $v_{0}$ - скорость центра масс стержня, а $\dot{ \theta}_{0}$ - угловая скорость вращения стержня относительно центра масс.

В случае импульсного воздействия справедливы следующие уравнения движения:

$\hat{F} = mv_{0}$ (1)

и

$\frac{ \hat{F}L }{2} = I \dot{ \theta }_{0}$,

или

$\dot{ \theta}_{0} = \frac{ \hat{F}L}{2I}$, (2)

где $l = \frac{1}{3} m \left ( \frac{L}{2} \right )^{2}$ - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс.
Если за время $t$ стержень совершает полный оборот, то

$\dot{ \theta}_{0}t = 2 \pi$, (3)

откуда

$t = \frac{2 \pi}{ \dot{ \theta}_{0} }$.

Следовательно, за время полного оборота центр стержня переместится на расстояние

$S = v_{0}t = \frac{ \hat{F} }{m} \frac{2 \pi}{ \dot{ \theta}_{0} } $.

Подставляя сюда выражение (2), находим

$S = \frac{ \hat{F} }{m} \frac{ \pi mL^{2} }{3 \hat{F}L } = \frac{ \pi L}{3}$. (4)

б) Энергия поступательного движения

$T_{t} = \frac{m}{2} v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m \frac{ \hat{F}^{2} }{m^{2} } = \frac{1}{2} \frac{ \hat{F}^{2} }{m}$. (5)

Энергия вращательного движения

$T_{r} = \frac{1}{2} I \dot{ \theta}_{0}^{2} = \frac{1}{2} I \left ( \frac{L \hat{F} }{2I} \right )^{2} = \frac{3}{2} \frac{ \hat{F}^{2} }{m}$. (6)

Полная кинетическая энергия стержня равна их сумме:

$T_{полн} = T_{t} + T_{r} = \frac{2 \hat{F}^{2} }{m}$.