Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11005
2019-10-23 
Частица массой $m_{1}$ и импульсом $P_{1}$ упруго сталкивается с частицей массой $m_{2}$, которая первоначально находилась в покое.
а) Определите максимально возможный импульс частицы $m_{2}$ в лабораторной системе отсчета после столкновения. (Используйте формулы релятивистской теории.)
б) Примените полученный результат к случаю столкновения протона, импульс которого равен отношению энергии покоя протона к скорости света с, с неподвижным электроном. Найдите численное значение максимального импульса электрона в МэВ/с после столкновения.
Решение:
Пусть $\vec{P}_{3}$ и $\vec{P}_{4}$ - импульсы частиц соответственно 1 и 2 после столкновения, а $| \vec{P}_{4} |$ - максимально возможный импульс частицы массой $m_{2}$, когда в системе, связанной с центром масс, частица 1 после столкновения движется назад. При этом $\vec{P}_{1}, \vec{P}_{3}$ и $\vec{P}_{4}$ имеют одно и то же направление.
а) $| \vec{P}_{4}|$ можно найти из уравнений, выражающих законы сохранения импульса и энергии:
$\vec{P}_{1} = \vec{P}_{3} + \vec{P}_{4}$, (1)
$E_{1} + m_{2} + E_{3} + E_{4}$, (2)
где
$E_{1} = \sqrt{ \vec{P}_{1}^{2} + m_{1}^{2} }, E_{3} = \sqrt{ \vec{P}_{3}^{2} + m_{1}^{2} }$ и $E_{4} = \sqrt{ \vec{P}_{4}^{2} + m_{2}^{2} }$.
Но удобнее использовать 4-векторы. Введем 4-векторы
$P_{i} = ( \vec{P}_{i}, j E_{i} ), i = 1,2,3,4$.
При этом для удобства мы приняли $c = 1$, а $j = \sqrt{ - 1}$. Тогда уравнения (1) и (2) можно заменить одним уравнением
$P_{1} + P_{2} = P_{3} + P_{4}$, (3)
или
$P_{3} = P_{1} + P_{2} - P_{4}$.
Рассмотрим скалярное произведение
$P_{3}^{2} = P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{4}^{2} + 2(P_{1} \cdot P_{2}) - 2(P_{1} \cdot P_{4}) - 2( P_{2} \cdot P_{4})$,
которое является инвариантом, и воспользуемся следующими соотношениями:
$P_{i}^{2} = - m_{i}^{2}$, (4)
$P_{i} \cdot P_{j} = - E_{i}E_{j} + \vec{P}_{i} \cdot \vec{P}_{j}$,
где $i,j = 1, 2, 3, 4$. Отсюда имеем
$-m_{1}^{2} = - m_{1}^{2} - 2m_{2}^{2} - 2m_{2}E_{1} + 2m_{2}E_{4} + 2E_{1}E_{4} - 2 \vec{P}_{1} \cdot \vec{P}_{4}$;
это соотношение можно упростить, учитывая, что $\vec{P}_{4}$ параллельно $\vec{P}_{1}$. Таким образом, можно написать уравнение
$(m_{2} + E_{1}) \sqrt{ \vec{P}_{4}^{2} + m_{2}^{2}} - | \vec{P}_{1} | \cdot | \vec{P}_{4} | - (m_{2}^{2} + m_{2}E_{1} ) = 0$, (5)
откуда получаем
$| \vec{P}_{4} | = \frac{2m_{2}(m_{2} + E_{1} ) | \vec{P}_{1} | }{(m_{2} + E_{1} )^{2} - | \vec{P}_{1} |^{2} }$. (6)
При этом мы отбросили второе, тривиальное решение уравнения (5), а именно $| \vec{P}_{4} | = 0$.
б) Дано
$| \vec{P}_{1} | = m_{1} = 938,2 МэВ$.
Следовательно,
$E_{1} = \sqrt{ \vec{P}_{1}^{2} + m_{1}^{2} } = 938,2 \cdot \sqrt{2}$.
Подставляя в (6) эти значения и $m_{2} = 0,5 МэВ$, находим максимальный импульс электрона после столкновения:
$| \vec{P}_{4} | = \frac{2(0,5) (0,5+ 938,2 \sqrt{2})}{(0,5 + 938,2 \sqrt{2} )^{2} - (938,2)^{2}} 938,2 = \frac{1327}{(1327)^{2} - (938,2)^{2}} 938,2 = 1,4 МэВ/с$.
Частица массой $m_{1}$ и импульсом $P_{1}$ упруго сталкивается с частицей массой $m_{2}$, которая первоначально находилась в покое.
а) Определите максимально возможный импульс частицы $m_{2}$ в лабораторной системе отсчета после столкновения. (Используйте формулы релятивистской теории.)
б) Примените полученный результат к случаю столкновения протона, импульс которого равен отношению энергии покоя протона к скорости света с, с неподвижным электроном. Найдите численное значение максимального импульса электрона в МэВ/с после столкновения.
Решение:
Пусть $\vec{P}_{3}$ и $\vec{P}_{4}$ - импульсы частиц соответственно 1 и 2 после столкновения, а $| \vec{P}_{4} |$ - максимально возможный импульс частицы массой $m_{2}$, когда в системе, связанной с центром масс, частица 1 после столкновения движется назад. При этом $\vec{P}_{1}, \vec{P}_{3}$ и $\vec{P}_{4}$ имеют одно и то же направление.
а) $| \vec{P}_{4}|$ можно найти из уравнений, выражающих законы сохранения импульса и энергии:
$\vec{P}_{1} = \vec{P}_{3} + \vec{P}_{4}$, (1)
$E_{1} + m_{2} + E_{3} + E_{4}$, (2)
где
$E_{1} = \sqrt{ \vec{P}_{1}^{2} + m_{1}^{2} }, E_{3} = \sqrt{ \vec{P}_{3}^{2} + m_{1}^{2} }$ и $E_{4} = \sqrt{ \vec{P}_{4}^{2} + m_{2}^{2} }$.
Но удобнее использовать 4-векторы. Введем 4-векторы
$P_{i} = ( \vec{P}_{i}, j E_{i} ), i = 1,2,3,4$.
При этом для удобства мы приняли $c = 1$, а $j = \sqrt{ - 1}$. Тогда уравнения (1) и (2) можно заменить одним уравнением
$P_{1} + P_{2} = P_{3} + P_{4}$, (3)
или
$P_{3} = P_{1} + P_{2} - P_{4}$.
Рассмотрим скалярное произведение
$P_{3}^{2} = P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{4}^{2} + 2(P_{1} \cdot P_{2}) - 2(P_{1} \cdot P_{4}) - 2( P_{2} \cdot P_{4})$,
которое является инвариантом, и воспользуемся следующими соотношениями:
$P_{i}^{2} = - m_{i}^{2}$, (4)
$P_{i} \cdot P_{j} = - E_{i}E_{j} + \vec{P}_{i} \cdot \vec{P}_{j}$,
где $i,j = 1, 2, 3, 4$. Отсюда имеем
$-m_{1}^{2} = - m_{1}^{2} - 2m_{2}^{2} - 2m_{2}E_{1} + 2m_{2}E_{4} + 2E_{1}E_{4} - 2 \vec{P}_{1} \cdot \vec{P}_{4}$;
это соотношение можно упростить, учитывая, что $\vec{P}_{4}$ параллельно $\vec{P}_{1}$. Таким образом, можно написать уравнение
$(m_{2} + E_{1}) \sqrt{ \vec{P}_{4}^{2} + m_{2}^{2}} - | \vec{P}_{1} | \cdot | \vec{P}_{4} | - (m_{2}^{2} + m_{2}E_{1} ) = 0$, (5)
откуда получаем
$| \vec{P}_{4} | = \frac{2m_{2}(m_{2} + E_{1} ) | \vec{P}_{1} | }{(m_{2} + E_{1} )^{2} - | \vec{P}_{1} |^{2} }$. (6)
При этом мы отбросили второе, тривиальное решение уравнения (5), а именно $| \vec{P}_{4} | = 0$.
б) Дано
$| \vec{P}_{1} | = m_{1} = 938,2 МэВ$.
Следовательно,
$E_{1} = \sqrt{ \vec{P}_{1}^{2} + m_{1}^{2} } = 938,2 \cdot \sqrt{2}$.
Подставляя в (6) эти значения и $m_{2} = 0,5 МэВ$, находим максимальный импульс электрона после столкновения:
$| \vec{P}_{4} | = \frac{2(0,5) (0,5+ 938,2 \sqrt{2})}{(0,5 + 938,2 \sqrt{2} )^{2} - (938,2)^{2}} 938,2 = \frac{1327}{(1327)^{2} - (938,2)^{2}} 938,2 = 1,4 МэВ/с$.
