Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11004
2019-10-19 
Дно широкого бассейна покрыто тонким слоем воды (любой «несжимаемой» жидкости с вязкостью $\eta$). На поверхности воды плавает тонкая деревянная доска, «дно» которой находится на расстоянии $d$ от дна бассейна. Все остальные размеры доски во много раз больше $d$. Доска движется горизонтально с малой скоростью $v$. Чему равна скорость диссипации энергии в единице объема в воде вблизи середины доски?
Решение:
а) Определим сначала распределение скоростей в жидкости вдали от краев доски. Для этого выберем систему координат, плоскость $xz$ которой совпадает с дном бассейна, а ось $z$ направлена вдоль скорости доски. Тогда из уравнения Навье-Стокса для стационарного течения следует $d^{2}v/dy^{2} = 0$. Из этого уравнения находим $v = C_{1}y + C_{2}$. Учитывая граничные условия $v(0) = 0$ и $v(d) = u$, определим постоянные интегрирования $C_{1}$ и $C_{2}$. Окончательно:
$v = \frac{u}{d} y$.
б) Силу трения, действующую на единицу поверхности доски, найдем, исходя из формулы $S_{xz} = \eta \frac{dv}{dy} = \eta \frac{u}{d}$, где $\eta$ - коэффициент вязкости. При этом работа на преодоление силы трения, совершаемая в единицу времени и отнесенная к единице площади поверхности доски, равна
$S_{xz}u = \frac{ \eta u^{2} }{d}$.
Искомая же скорость диссипации энергии в единице объема оказывается равной
$\frac{S_{xz} \cdot u}{d} = \frac{ \eta u^{2} }{d^{2} }$.
Дно широкого бассейна покрыто тонким слоем воды (любой «несжимаемой» жидкости с вязкостью $\eta$). На поверхности воды плавает тонкая деревянная доска, «дно» которой находится на расстоянии $d$ от дна бассейна. Все остальные размеры доски во много раз больше $d$. Доска движется горизонтально с малой скоростью $v$. Чему равна скорость диссипации энергии в единице объема в воде вблизи середины доски?
Решение:
а) Определим сначала распределение скоростей в жидкости вдали от краев доски. Для этого выберем систему координат, плоскость $xz$ которой совпадает с дном бассейна, а ось $z$ направлена вдоль скорости доски. Тогда из уравнения Навье-Стокса для стационарного течения следует $d^{2}v/dy^{2} = 0$. Из этого уравнения находим $v = C_{1}y + C_{2}$. Учитывая граничные условия $v(0) = 0$ и $v(d) = u$, определим постоянные интегрирования $C_{1}$ и $C_{2}$. Окончательно:
$v = \frac{u}{d} y$.
б) Силу трения, действующую на единицу поверхности доски, найдем, исходя из формулы $S_{xz} = \eta \frac{dv}{dy} = \eta \frac{u}{d}$, где $\eta$ - коэффициент вязкости. При этом работа на преодоление силы трения, совершаемая в единицу времени и отнесенная к единице площади поверхности доски, равна
$S_{xz}u = \frac{ \eta u^{2} }{d}$.
Искомая же скорость диссипации энергии в единице объема оказывается равной
$\frac{S_{xz} \cdot u}{d} = \frac{ \eta u^{2} }{d^{2} }$.
