Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11003
2019-10-19 
Медленный поток вязкой жидкости в цилиндрической трубке можно считать ламинарным, причем профиль скоростей потока выглядит примерно так, как представлено на рисунке. Покажите, что если $r$ - расстояние от оси трубки, $\eta$ - коэффициент вязкости, а $\frac{P_{1} - P_{2}}{L}$ - перепад давления на единице длины трубки, то профиль скоростей в жидкости описывается выражением
$v(r) = \frac{1}{4 \eta} \frac{P_{1} - P_{2}}{L} (a^{2} - r^{2})$.
Пр аналогии с законом Ома пропускную способность трубки $Q$ можно связать с перепадом давления $\Delta P = P_{1} - P_{2}$ соотношением
$\Delta P = QR$,
где $R$ - сопротивление трубки. Найдите сопротивление $R$ для трубок радиуса $a$ и длины $L$. Как вы думаете, проведение подобной аналогии лишь простая игра слов или есть основания считать такие аналогии полезными? Что является аналогом конденсатора?
Решение:
Направим ось $z$ вдоль оси трубы в направлении потока жидкости. Предполагая жидкость несжимаемой, напишем уравнение движения в стационарном случае
$( \vec{v} \cdot \nabla ) \vec{v} = - \frac{ \nabla p}{ \rho} + \frac{ \eta}{ \rho} \nabla^{2} \vec{v}$.
Так как в данной задаче отлична от нуля лишь $z$ - компонента скорости - $v_{z}$, причем $v_{z}$ зависит только от $r$ - расстояния от оси трубы, то $( \vec{v} \cdot \nabla ) \vec{v} = 0$. Записав $\nabla \vec{p} = - \vec{ \Delta p}{L}$, где $\Delta p = p_{1} - p_{2}$ - разность давлений на концах трубы, получим
$\nabla^{2} v_{z} = - \frac{ \Delta p}{ \eta L}$.
Это уравнение совпадает по виду с уравнением Пауссона для потенциала равномерно заряженного бесконечного цилиндра $\nabla^{2} \phi = - \rho/ \epsilon$. Потенциал $\phi$ легко найти, если воспользоваться теоремой Гаусса, найти напряженность электрического поля, а затем проинтегрировать соотношение $\vec{E} =- \nabla \phi$. В результате $\phi = \phi_{0} - \frac{ \rho r^{2}}{4 \epsilon_{0}}$, где $\phi_{0}$ - постоянная интегрирования. Заменяя $\phi$ на $v_{z}$ и $\frac{ \rho}{ \epsilon_{0}}$ на $\frac{ \Delta p}{ \eta L}$, получаем
$v_{z}(r)= v_{0} - \frac{ \Delta p}{4 L \eta} r^{2}$.
Неизвестную константу $v_{0}$ легко найти, если вспомнить, что на стенке трубы скорость жидкости равна нулю. Окончательно:
$v_{z}(r) = \frac{ \Delta p}{4 L \eta} (a^{2} - r^{2} )$.
Поток массы жидкости плотности $\rho$ через поперечное сечение (расход) трубки равен
$A = \rho \int v_{z}(r)dS = \frac{a^{4} \pi }{8 \eta} \rho \frac{ \Delta p}{L}$.
Если провести аналогию между разностью потенциалов и разностью давлений, а также расходом жидкости и электрическим током, то под сопротивлением трубы надо понимать величину
$R = \frac{ \Delta p}{Q} = \frac{8 \eta L}{ \pi a^{4} \rho }$.
Аналогом конденсатора являются два сообщающихся сосуда, снизу соединенные трубкой, которую можно перекрывать краном так, что уровень воды в сосудах может быть разным.
Медленный поток вязкой жидкости в цилиндрической трубке можно считать ламинарным, причем профиль скоростей потока выглядит примерно так, как представлено на рисунке. Покажите, что если $r$ - расстояние от оси трубки, $\eta$ - коэффициент вязкости, а $\frac{P_{1} - P_{2}}{L}$ - перепад давления на единице длины трубки, то профиль скоростей в жидкости описывается выражением
$v(r) = \frac{1}{4 \eta} \frac{P_{1} - P_{2}}{L} (a^{2} - r^{2})$.
Пр аналогии с законом Ома пропускную способность трубки $Q$ можно связать с перепадом давления $\Delta P = P_{1} - P_{2}$ соотношением
$\Delta P = QR$,
где $R$ - сопротивление трубки. Найдите сопротивление $R$ для трубок радиуса $a$ и длины $L$. Как вы думаете, проведение подобной аналогии лишь простая игра слов или есть основания считать такие аналогии полезными? Что является аналогом конденсатора?
Решение:
Направим ось $z$ вдоль оси трубы в направлении потока жидкости. Предполагая жидкость несжимаемой, напишем уравнение движения в стационарном случае
$( \vec{v} \cdot \nabla ) \vec{v} = - \frac{ \nabla p}{ \rho} + \frac{ \eta}{ \rho} \nabla^{2} \vec{v}$.
Так как в данной задаче отлична от нуля лишь $z$ - компонента скорости - $v_{z}$, причем $v_{z}$ зависит только от $r$ - расстояния от оси трубы, то $( \vec{v} \cdot \nabla ) \vec{v} = 0$. Записав $\nabla \vec{p} = - \vec{ \Delta p}{L}$, где $\Delta p = p_{1} - p_{2}$ - разность давлений на концах трубы, получим
$\nabla^{2} v_{z} = - \frac{ \Delta p}{ \eta L}$.
Это уравнение совпадает по виду с уравнением Пауссона для потенциала равномерно заряженного бесконечного цилиндра $\nabla^{2} \phi = - \rho/ \epsilon$. Потенциал $\phi$ легко найти, если воспользоваться теоремой Гаусса, найти напряженность электрического поля, а затем проинтегрировать соотношение $\vec{E} =- \nabla \phi$. В результате $\phi = \phi_{0} - \frac{ \rho r^{2}}{4 \epsilon_{0}}$, где $\phi_{0}$ - постоянная интегрирования. Заменяя $\phi$ на $v_{z}$ и $\frac{ \rho}{ \epsilon_{0}}$ на $\frac{ \Delta p}{ \eta L}$, получаем
$v_{z}(r)= v_{0} - \frac{ \Delta p}{4 L \eta} r^{2}$.
Неизвестную константу $v_{0}$ легко найти, если вспомнить, что на стенке трубы скорость жидкости равна нулю. Окончательно:
$v_{z}(r) = \frac{ \Delta p}{4 L \eta} (a^{2} - r^{2} )$.
Поток массы жидкости плотности $\rho$ через поперечное сечение (расход) трубки равен
$A = \rho \int v_{z}(r)dS = \frac{a^{4} \pi }{8 \eta} \rho \frac{ \Delta p}{L}$.
Если провести аналогию между разностью потенциалов и разностью давлений, а также расходом жидкости и электрическим током, то под сопротивлением трубы надо понимать величину
$R = \frac{ \Delta p}{Q} = \frac{8 \eta L}{ \pi a^{4} \rho }$.
Аналогом конденсатора являются два сообщающихся сосуда, снизу соединенные трубкой, которую можно перекрывать краном так, что уровень воды в сосудах может быть разным.
