Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11002
2019-10-19 
Если шар радиуса $a$ движется в вязкой жидкости равномерно и достаточно медленно, так что поток обтекающей жидкости можно считать ламинарным, то сила, заставляющая его двигаться, равна вязкой силе трения, действующей со стороны жидкости на шар. Хотя эту силу вы можете определить точно, представляет интерес найти для нее выражение из размерных соображений, перечислив все параметры, от которых эта сила может зависеть. Проделайте это. Можете ли вы качественно обосновать, почему параметры входят в найденное выражение так, а не иначе?
Решение:
К параметрам, определяющим силу сопротивления, относятся: $a$ - радиус шара, $v$ - скорость движения шара относительно жидкости, $\eta$ - коэффициент вязкости. Размерность этих величин такова:
$[a]$ = Длина; $[v]$ = Длина/Время;
$[ \eta]$ = Масса/Время $\times$ Длина.
Будем искать из соображений размерности выражение для силы в виде $F = a^{ \alpha} v^{ \beta} \eta^{ \gamma}$. Запишем условие совпадения размерностей левой и правой частей этого соотношения:
$[F] = [a^{ \alpha} v^{ \beta} \eta^{ \gamma}]$,
$[Масса] \times [Длина] \times [Время]^{-2} = [Масса]^{ \gamma} \times [Длина]^{ \alpha + \beta - \gamma} \times [Время]^{- \beta- \gamma}$.
Отсюда $\gamma = 1, \alpha + \beta - \gamma = 1, \beta + \gamma = 2$, или $\alpha = 1, \beta = 1, \gamma = 1$. В результате находим
$F \sim \eta av$.
То, что параметры входят в выражение для $F$ так, как было найдено выше, а не иначе, ясно из следующих качественных соображений. Вязкая сила $f_{вязк}$, действующая на единицу объема жидкости, пропорциональна коэффициенту вязкости $\eta$ и вторым производным скорости по координатам. Так как в задаче о движении шара в вязкой жидкости характерным размером, на котором существенно меняется скорость, являются размеры порядка размеров шара, то вторые производные по порядку величины равны $v/a^{2}$. Умножая $f_{вязк}$ на объем, где силы вязкости отличны от нуля, т. е. на объем порядка $a^{3}$, находим $F \sim \eta av$. Заметим, что сила трения, действующая на гармонический осциллятор, также пропорциональна скорости осциллятора.
Если шар радиуса $a$ движется в вязкой жидкости равномерно и достаточно медленно, так что поток обтекающей жидкости можно считать ламинарным, то сила, заставляющая его двигаться, равна вязкой силе трения, действующей со стороны жидкости на шар. Хотя эту силу вы можете определить точно, представляет интерес найти для нее выражение из размерных соображений, перечислив все параметры, от которых эта сила может зависеть. Проделайте это. Можете ли вы качественно обосновать, почему параметры входят в найденное выражение так, а не иначе?
Решение:
К параметрам, определяющим силу сопротивления, относятся: $a$ - радиус шара, $v$ - скорость движения шара относительно жидкости, $\eta$ - коэффициент вязкости. Размерность этих величин такова:
$[a]$ = Длина; $[v]$ = Длина/Время;
$[ \eta]$ = Масса/Время $\times$ Длина.
Будем искать из соображений размерности выражение для силы в виде $F = a^{ \alpha} v^{ \beta} \eta^{ \gamma}$. Запишем условие совпадения размерностей левой и правой частей этого соотношения:
$[F] = [a^{ \alpha} v^{ \beta} \eta^{ \gamma}]$,
$[Масса] \times [Длина] \times [Время]^{-2} = [Масса]^{ \gamma} \times [Длина]^{ \alpha + \beta - \gamma} \times [Время]^{- \beta- \gamma}$.
Отсюда $\gamma = 1, \alpha + \beta - \gamma = 1, \beta + \gamma = 2$, или $\alpha = 1, \beta = 1, \gamma = 1$. В результате находим
$F \sim \eta av$.
То, что параметры входят в выражение для $F$ так, как было найдено выше, а не иначе, ясно из следующих качественных соображений. Вязкая сила $f_{вязк}$, действующая на единицу объема жидкости, пропорциональна коэффициенту вязкости $\eta$ и вторым производным скорости по координатам. Так как в задаче о движении шара в вязкой жидкости характерным размером, на котором существенно меняется скорость, являются размеры порядка размеров шара, то вторые производные по порядку величины равны $v/a^{2}$. Умножая $f_{вязк}$ на объем, где силы вязкости отличны от нуля, т. е. на объем порядка $a^{3}$, находим $F \sim \eta av$. Заметим, что сила трения, действующая на гармонический осциллятор, также пропорциональна скорости осциллятора.
