Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11001
2019-10-19 
Шар массы $m$ и радиуса $a$ движется с постоянной скоростью в «сухой» воде. Покажите, что сумма кинетических энергий шара и жидкости равна
$\frac{1}{2} \left ( m + \frac{M}{2} \right ) v^{2}$,
где $M$ - масса жидкости, вытесненная шаром. Чему равен суммарный импульс шара и жидкости?
Решение:
Скорость обтекания шара «сухой» водой равна
$\vec{v} = \nabla v_{0} \cos \theta \left ( r + \frac{a^{3} }{2r^{2} } \right ) = v_{0} \nabla z \left ( 1+ \frac{a^{3} }{2r^{3} } \right ) $
где $v_{0}$ - скорость воды на бесконечном расстоянии от шара, $\theta$ - угол между радиусом-вектором $\vec{r}$ и $\vec{v}_{0}$ (ось $\vec{z}$ выбрана вдоль вектора $\vec{v}_{0}$). В настоящей задаче мы можем воспользоваться этим решением, если перейдем к системе координат, в которой жидкость вдалеке от шара покоится. Результат можно записать в виде
$\vec{v} = \frac{a^{3} }{2r^{5} } [ 2 \vec{r} ( \vec{v}_{0} \cdot \vec{r} ) - \vec{v}_{0}r^{2} ]$.
Кинетическая энергия жидкости $T_{ж}$ равна интегралу от квадрата этой скорости, умноженному на плотность жидкости, по всему пространству вне шара. Математически, как мы видим, задача аналогична задаче 10837, где определялась энергия магнитного поля Земли. Воспользовавшись найденным в этой задаче результатом, получим
$T_{ж} = M \frac{v_{0}^{2} }{4}$,
где $M$ - масса жидкости в объеме шара. Добавляя к $T_{ж}$ кинетическую энергию шара, находим полную энергию
$T = \frac{1}{2} \left ( m + \frac{M}{2} \right )v_{0}^{2}$.
Полный импульс системы вычисляется по формуле
$\vec{P} = m \vec{v}_{0} + \rho \int \vec{v} dV$.
Подставляя в нее приведенное выше поле скоростей $\vec{v}$ и выполняя несложное интегрирование, получаем $\int \rho \vec{v} dV = 0$; следовательно, $\vec{P} = m \vec{v}_{0}$.
Шар массы $m$ и радиуса $a$ движется с постоянной скоростью в «сухой» воде. Покажите, что сумма кинетических энергий шара и жидкости равна
$\frac{1}{2} \left ( m + \frac{M}{2} \right ) v^{2}$,
где $M$ - масса жидкости, вытесненная шаром. Чему равен суммарный импульс шара и жидкости?
Решение:
Скорость обтекания шара «сухой» водой равна
$\vec{v} = \nabla v_{0} \cos \theta \left ( r + \frac{a^{3} }{2r^{2} } \right ) = v_{0} \nabla z \left ( 1+ \frac{a^{3} }{2r^{3} } \right ) $
где $v_{0}$ - скорость воды на бесконечном расстоянии от шара, $\theta$ - угол между радиусом-вектором $\vec{r}$ и $\vec{v}_{0}$ (ось $\vec{z}$ выбрана вдоль вектора $\vec{v}_{0}$). В настоящей задаче мы можем воспользоваться этим решением, если перейдем к системе координат, в которой жидкость вдалеке от шара покоится. Результат можно записать в виде
$\vec{v} = \frac{a^{3} }{2r^{5} } [ 2 \vec{r} ( \vec{v}_{0} \cdot \vec{r} ) - \vec{v}_{0}r^{2} ]$.
Кинетическая энергия жидкости $T_{ж}$ равна интегралу от квадрата этой скорости, умноженному на плотность жидкости, по всему пространству вне шара. Математически, как мы видим, задача аналогична задаче 10837, где определялась энергия магнитного поля Земли. Воспользовавшись найденным в этой задаче результатом, получим
$T_{ж} = M \frac{v_{0}^{2} }{4}$,
где $M$ - масса жидкости в объеме шара. Добавляя к $T_{ж}$ кинетическую энергию шара, находим полную энергию
$T = \frac{1}{2} \left ( m + \frac{M}{2} \right )v_{0}^{2}$.
Полный импульс системы вычисляется по формуле
$\vec{P} = m \vec{v}_{0} + \rho \int \vec{v} dV$.
Подставляя в нее приведенное выше поле скоростей $\vec{v}$ и выполняя несложное интегрирование, получаем $\int \rho \vec{v} dV = 0$; следовательно, $\vec{P} = m \vec{v}_{0}$.
