Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11000
2019-10-19 
Жидкость вращается в цилиндре кругового сечения с постоянной угловой скоростью $\omega$. Найдите форму воронки, образующейся на поверхности жидкости, если на расстоянии $r$ от оси частица жидкости вращается со скоростью $v = \omega r$. Покажите, что циркуляция жидкости, отнесенная к единице площади, т. е. $rot \vec{v}$, равна удвоенной угловой скорости вращения жидкости.
Решение:
Направим ось $\vec{z}$ вдоль цилиндра, а начало координат выберем в наинизшей точке воронки. Введем вектор угловой скорости вращения жидкости $\vec{ \omega}$, который, очевидно, направлен вдоль оси $vec{z}$. Тогда вектор скорости частицы жидкости, находящейся на расстоянии $r$ от оси, можно записать в виде $\vec{v} = \vec{ \omega} \times \vec{r}$, где $\vec{r}$ - радиус-вектор частицы. При этом $v_{x} = - \omega \cdot y, v_{y} = \omega \cdot x, v_{z} = 0$. Вычислим вектор $\vec{ \Omega} = \nabla \times \vec{v}$. Находим
$\Omega_{x} = \frac{ \partial v_{z} }{ \partial y} - \frac{ \partial v_{y} }{ \partial z} = 0$,
$\Omega_{y} = \frac{ \partial v_{x} }{ \partial z} - \frac{ \partial v_{z} }{ \partial x} = 0$,
$\Omega_{z} = \frac{ \partial v_{y} }{ \partial x} - \frac{ \partial v_{x} }{ \partial y} = 0$,
или в векторном виде $\vec{ \Omega} = 2 \vec{ \omega}$. Отсюда ясно, что в данной задаче $\vec{ \Omega} \times \vec{v} = - 2 \omega^{2} 2 \vec{r}$. Так как можно представить $\vec{r} = \nabla ( r^{2}/2)$, то во всех точках жидкости выполняется уравнение
$\frac{p}{ \rho} + \frac{v^{2} }{2} + \phi - \omega^{2}r^{2} = const$.
Так как на поверхности жидкости давление постоянно и равно атмосферному, то имеем ($\phi = gz$)
$\frac{v^{2} }{2} - gz = \frac{ \omega^{2} }{2} (x^{2} + y^{2} ) - gz = const$.
В нашей системе координат, очевидно, $const = 0$. Поэтому уравнение поверхности жидкости имеет вид
$z = \frac{ \omega^{2} }{2g} (x^{2} + y^{2} )$
т. е. поверхность является параболоидом вращения.
Жидкость вращается в цилиндре кругового сечения с постоянной угловой скоростью $\omega$. Найдите форму воронки, образующейся на поверхности жидкости, если на расстоянии $r$ от оси частица жидкости вращается со скоростью $v = \omega r$. Покажите, что циркуляция жидкости, отнесенная к единице площади, т. е. $rot \vec{v}$, равна удвоенной угловой скорости вращения жидкости.
Решение:
Направим ось $\vec{z}$ вдоль цилиндра, а начало координат выберем в наинизшей точке воронки. Введем вектор угловой скорости вращения жидкости $\vec{ \omega}$, который, очевидно, направлен вдоль оси $vec{z}$. Тогда вектор скорости частицы жидкости, находящейся на расстоянии $r$ от оси, можно записать в виде $\vec{v} = \vec{ \omega} \times \vec{r}$, где $\vec{r}$ - радиус-вектор частицы. При этом $v_{x} = - \omega \cdot y, v_{y} = \omega \cdot x, v_{z} = 0$. Вычислим вектор $\vec{ \Omega} = \nabla \times \vec{v}$. Находим
$\Omega_{x} = \frac{ \partial v_{z} }{ \partial y} - \frac{ \partial v_{y} }{ \partial z} = 0$,
$\Omega_{y} = \frac{ \partial v_{x} }{ \partial z} - \frac{ \partial v_{z} }{ \partial x} = 0$,
$\Omega_{z} = \frac{ \partial v_{y} }{ \partial x} - \frac{ \partial v_{x} }{ \partial y} = 0$,
или в векторном виде $\vec{ \Omega} = 2 \vec{ \omega}$. Отсюда ясно, что в данной задаче $\vec{ \Omega} \times \vec{v} = - 2 \omega^{2} 2 \vec{r}$. Так как можно представить $\vec{r} = \nabla ( r^{2}/2)$, то во всех точках жидкости выполняется уравнение
$\frac{p}{ \rho} + \frac{v^{2} }{2} + \phi - \omega^{2}r^{2} = const$.
Так как на поверхности жидкости давление постоянно и равно атмосферному, то имеем ($\phi = gz$)
$\frac{v^{2} }{2} - gz = \frac{ \omega^{2} }{2} (x^{2} + y^{2} ) - gz = const$.
В нашей системе координат, очевидно, $const = 0$. Поэтому уравнение поверхности жидкости имеет вид
$z = \frac{ \omega^{2} }{2g} (x^{2} + y^{2} )$
т. е. поверхность является параболоидом вращения.
