Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10999
2019-10-19 
Нижний конец вертикального стержня заделан, а к его верхнему свободному концу приложена сила. Длина стержня равна $L$. Поперечное сечение стержня имеет форму прямоугольника со сторонами $t$ (толщина) и $w$ (ширина). Определите силу, приводящую к показанной на рисунке деформации стержня.
Решение:
Выберем плоскость изгиба в качестве плоскости $xy$. Ось $x$ параллельна силе $P$. Введем $\theta$ - угол между касательной к линии стержня и осью $x$ и $s$ - расстояние вдоль кривой. Тогда $\frac{dx}{ds} = \cos \theta$ и $\frac{dy}{ds} = \sin \theta$. При этом кривизна стержня $\frac{1}{R}$ будет определяться выражением $\frac{1}{R} = \frac{d \theta}{ds}$. С другой стороны, кривизну стержня можно связать с изгибающим моментом силы $P$:
$\frac{1}{R} = \frac{P}{YI} ( \delta - y)$.
Следовательно,
$\frac{d \theta}{ds} = \frac{P}{YI} ( \delta - y)$.
Дифференцируя последнее уравнение по $s$, получаем исходное уравнение
$IY \frac{d^{2} \theta}{ ds^{2} } + P \sin \theta = 0$.
Так как угол $\theta$ мал, то, полагая $\sin \theta = \theta$, получаем уравнение
$\frac{d^{2} \theta }{ds^{2} } + \frac{P}{IY} \theta = 0$,
общее решение которого имеет вид
$\theta(s) = A \sin \sqrt{ \frac{P}{ IY} } s + B \cos \sqrt{ \frac{P}{IY} } s$,
где $A$ и $B$ - константы. Из граничного условия $\theta(0) = 0$ (нижний конец стержня жестко заделан) находим В=0. Из условия равенства нулю момента сил внутренних напряжений у свободного конца, т. е. из граничного условия $\theta^{ \prime}(L) = 0$, находим
$\cos \sqrt{ \frac{P}{IY} } L = 0$,
т.е.
$\sqrt{ \frac{P}{IY} } L = \frac{ \pi}{2}$.
Следовательно, $P = \frac{ \pi^{2} IY}{4L^{2}}$. Учитывая, что $I = \frac{wt^{3}}{12}$, окончательно находим искомую силу
$P = \frac{ \pi^{2} IY wt^{3}}{48L^{2}}$
Нижний конец вертикального стержня заделан, а к его верхнему свободному концу приложена сила. Длина стержня равна $L$. Поперечное сечение стержня имеет форму прямоугольника со сторонами $t$ (толщина) и $w$ (ширина). Определите силу, приводящую к показанной на рисунке деформации стержня.
Решение:
Выберем плоскость изгиба в качестве плоскости $xy$. Ось $x$ параллельна силе $P$. Введем $\theta$ - угол между касательной к линии стержня и осью $x$ и $s$ - расстояние вдоль кривой. Тогда $\frac{dx}{ds} = \cos \theta$ и $\frac{dy}{ds} = \sin \theta$. При этом кривизна стержня $\frac{1}{R}$ будет определяться выражением $\frac{1}{R} = \frac{d \theta}{ds}$. С другой стороны, кривизну стержня можно связать с изгибающим моментом силы $P$:
$\frac{1}{R} = \frac{P}{YI} ( \delta - y)$.
Следовательно,
$\frac{d \theta}{ds} = \frac{P}{YI} ( \delta - y)$.
Дифференцируя последнее уравнение по $s$, получаем исходное уравнение
$IY \frac{d^{2} \theta}{ ds^{2} } + P \sin \theta = 0$.
Так как угол $\theta$ мал, то, полагая $\sin \theta = \theta$, получаем уравнение
$\frac{d^{2} \theta }{ds^{2} } + \frac{P}{IY} \theta = 0$,
общее решение которого имеет вид
$\theta(s) = A \sin \sqrt{ \frac{P}{ IY} } s + B \cos \sqrt{ \frac{P}{IY} } s$,
где $A$ и $B$ - константы. Из граничного условия $\theta(0) = 0$ (нижний конец стержня жестко заделан) находим В=0. Из условия равенства нулю момента сил внутренних напряжений у свободного конца, т. е. из граничного условия $\theta^{ \prime}(L) = 0$, находим
$\cos \sqrt{ \frac{P}{IY} } L = 0$,
т.е.
$\sqrt{ \frac{P}{IY} } L = \frac{ \pi}{2}$.
Следовательно, $P = \frac{ \pi^{2} IY}{4L^{2}}$. Учитывая, что $I = \frac{wt^{3}}{12}$, окончательно находим искомую силу
$P = \frac{ \pi^{2} IY wt^{3}}{48L^{2}}$
