Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10998
2019-10-19 
Стальная линейка длиной $L =30 см$, шириной $a = 1,5 см$ и толщиной $b = 0,08 см$ концами упирается в две планки, прибитые к столу на расстоянии $l = 29 см$ одна от другой, как показано на рисунке.
а) Какой кривой описывается форма изогнутой линейки?
б) Какова сила, с которой линейка упирается в планки?
Решение:
Так как расстояние между планками слабо отличается от $L$, то изгиб можно считать слабым. Кроме того, как будет ясно из дальнейшего, учет веса линейки (около 0,3 г) несущественно меняет величину действующей вдоль стержня силы внутренних напряжений. Если отклонение линейки от прямой линии между концами обозначить через $y(x)$, где $x$ - расстояние от левого конца линейки, а через $F$ обозначить горизонтальную составляющую силы, с которой упоры изгибают линейку, то форма изогнутой линейки будет описываться уравнением:
$\frac{d^{2}y }{dx^{2} } = - \frac{F}{YI} y$,
где $Y$ - модуль Юнга; $I$ - момент инерции поперечного сечения линейки. Из этого уравнения следует:
а) Форма изогнутой линейки описывается синусоидой
$y(x) = K \sin \frac{ \pi x}{l}$.
Постоянную $K$ можно определить из условия нормировки на длину линейки
$L = \int_{0}^{l} \sqrt{(dx)^{2} + (dy)^{2}} = \int_{0}^{l} \sqrt{1 + y^{ \prime 2}} dx = \int_{0}^{l} \sqrt{ 1 + K^{2} \frac{ \pi^{2} }{l^{2} } \cos^{2} \frac{ \pi x}{l} } dx$.
Учитывая тот факт, что прогиб линейки слабый, т. е. что $K/l \ll 1$ вычислим интеграл, разложив подынтегральное выражение в ряд
$L = \int_{0}^{l} \left ( 1 + \frac{K^{2} \pi^{2} }{2l^{2} } \cos^{2} \frac{ \pi x}{l} \right ) dx = l + \frac{}{}$.
Отсюда $K = \frac{2}{ \pi} \sqrt{(L - l)l} =34,2 мм$.
б) Сила, с которой линейка упирается в планки, равна $F = \frac{ \pi^{2}YI}{l^{2}}$, где $I = \frac{ab^{3}}{12}$. Если принять для стали $Y = 2 \cdot 10^{12} дин/см^{2}$, то $F = 1,47 кГ$.
Стальная линейка длиной $L =30 см$, шириной $a = 1,5 см$ и толщиной $b = 0,08 см$ концами упирается в две планки, прибитые к столу на расстоянии $l = 29 см$ одна от другой, как показано на рисунке.
а) Какой кривой описывается форма изогнутой линейки?
б) Какова сила, с которой линейка упирается в планки?
Решение:
Так как расстояние между планками слабо отличается от $L$, то изгиб можно считать слабым. Кроме того, как будет ясно из дальнейшего, учет веса линейки (около 0,3 г) несущественно меняет величину действующей вдоль стержня силы внутренних напряжений. Если отклонение линейки от прямой линии между концами обозначить через $y(x)$, где $x$ - расстояние от левого конца линейки, а через $F$ обозначить горизонтальную составляющую силы, с которой упоры изгибают линейку, то форма изогнутой линейки будет описываться уравнением:
$\frac{d^{2}y }{dx^{2} } = - \frac{F}{YI} y$,
где $Y$ - модуль Юнга; $I$ - момент инерции поперечного сечения линейки. Из этого уравнения следует:
а) Форма изогнутой линейки описывается синусоидой
$y(x) = K \sin \frac{ \pi x}{l}$.
Постоянную $K$ можно определить из условия нормировки на длину линейки
$L = \int_{0}^{l} \sqrt{(dx)^{2} + (dy)^{2}} = \int_{0}^{l} \sqrt{1 + y^{ \prime 2}} dx = \int_{0}^{l} \sqrt{ 1 + K^{2} \frac{ \pi^{2} }{l^{2} } \cos^{2} \frac{ \pi x}{l} } dx$.
Учитывая тот факт, что прогиб линейки слабый, т. е. что $K/l \ll 1$ вычислим интеграл, разложив подынтегральное выражение в ряд
$L = \int_{0}^{l} \left ( 1 + \frac{K^{2} \pi^{2} }{2l^{2} } \cos^{2} \frac{ \pi x}{l} \right ) dx = l + \frac{}{}$.
Отсюда $K = \frac{2}{ \pi} \sqrt{(L - l)l} =34,2 мм$.
б) Сила, с которой линейка упирается в планки, равна $F = \frac{ \pi^{2}YI}{l^{2}}$, где $I = \frac{ab^{3}}{12}$. Если принять для стали $Y = 2 \cdot 10^{12} дин/см^{2}$, то $F = 1,47 кГ$.
