Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10997
2019-10-19 
Cкорость звука в жидкости определялась как производная давления по плотности. Покажите, что для продольных волн в твердом теле (плоские волны сжатия) фазовая скорость определяется выражением
$v_{прод}^{2} = \frac{(1 - \sigma)Y}{(1 - 2 \sigma)(1 + \sigma) \rho}$,
где $\sigma$ - отношение Пуассона; $Y$ - модуль Юнга. Эта формула справедлива лишь для продольной волны в «безграничной» среде. В такой волне частицы движутся параллельно направлению распространения. Поперечное же смещение частиц в продольной волне отсутствует в отличие от того, что имеет место, скажем, при сжатии стержня, когда поперечные размеры стержня увеличиваются. Каковы, по вашему мнению, должны быть размеры тела, чтобы приведенное выше выражение для фазовой скорости было справедливо?
Решение:
Рассмотрим массивное тело, поперечные размеры которого много больше длины волны звука. Ударяя по такому телу, можно обнаружить, что оно не раздается во все стороны, а сжимается только в направлении удара. В таком теле побежит продольная волна, в которой частицы тела движутся только в направлении распространения волны. Чтобы найти уравнения, описывающие распространение такого продольного звука, мы фактически можем рассмотреть стержень, который закреплен так, что при сжатии и растяжении его боковые размеры не сокращаются. Пусть площадь поперечного сечения такого стержня равна $A$, а длина $L$. Рассмотрим элемент стержня длиной $\Delta z$, расположенный на расстоянии $z$ от его конца. Обозначим через $u(z, t)$ смещение этого элемента в волне в момент времени $t$. При статическом растяжении (или сжатии) внутреннее напряжение $F/A$ на всем протяжении стержня одно и то же и пропорционально $u/L$, где $u$ - удлинение стержня. В упругой волне важна местная деформация в точке $z$, т. е. $\frac{ \partial u(z,t) }{ \partial z}$. Для стержня без бокового смещения
$\frac{ \partial u}{ \partial z} = \frac{(1 + \sigma)(1 - 2 \sigma)}{(1 - \sigma)Y} \frac{F(z)}{A}$,
где $F(z)$ - сила, действующая в поперечном сечении на расстоянии $z$ от начала координат. На одном конце элемента $\Delta z$ действует $F(z)$, а на другом $F(z + \Delta z)$. Полная сила, действующая на элемент $\Delta z$, очевидно, равна
$F(z + \Delta z) - F(z) = \frac{dF(z)}{dz} \Delta z = \Delta z \cdot A \frac{(1 - \sigma)Y}{(1 + \sigma)(1 - 2 \sigma)} \frac{ \partial^{2} u }{ \partial z^{2} }$.
Согласно закону Ньютона, эта сила равна произведению массы элемента $\rho \Delta z \cdot A$ ($\rho$ - плотность тела) на его ускорение $\frac{ \partial^{2} u(z,t) }{ \partial t^{2} }$:
$\rho \Delta z A \frac{ \partial^{2} u(z,t) }{ \partial t^{2} } = \Delta z \cdot A \frac{(1 - \sigma)Y}{(1 + \sigma)(1 - 2 \sigma)} \frac{ \partial^{2} u(z,t) }{ \partial z^{2} }$.
Сокращая обе части получившегося уравнения на $\Delta z \cdot A$, получаем
$\frac{ \partial^{2} u(z,t) }{ \partial t^{2} } - v_{прод}^{2} \frac{ \partial^{2} u(z,t) }{ \partial z^{2} } = 0$,
где
$v_{прод}^{2} = \frac{(1 - \sigma)Y}{(1 + \sigma)(1 - 2 \sigma) \rho}$
-квадрат фазовой скорости распространения продольных волн в твердом теле.
Cкорость звука в жидкости определялась как производная давления по плотности. Покажите, что для продольных волн в твердом теле (плоские волны сжатия) фазовая скорость определяется выражением
$v_{прод}^{2} = \frac{(1 - \sigma)Y}{(1 - 2 \sigma)(1 + \sigma) \rho}$,
где $\sigma$ - отношение Пуассона; $Y$ - модуль Юнга. Эта формула справедлива лишь для продольной волны в «безграничной» среде. В такой волне частицы движутся параллельно направлению распространения. Поперечное же смещение частиц в продольной волне отсутствует в отличие от того, что имеет место, скажем, при сжатии стержня, когда поперечные размеры стержня увеличиваются. Каковы, по вашему мнению, должны быть размеры тела, чтобы приведенное выше выражение для фазовой скорости было справедливо?
Решение:
Рассмотрим массивное тело, поперечные размеры которого много больше длины волны звука. Ударяя по такому телу, можно обнаружить, что оно не раздается во все стороны, а сжимается только в направлении удара. В таком теле побежит продольная волна, в которой частицы тела движутся только в направлении распространения волны. Чтобы найти уравнения, описывающие распространение такого продольного звука, мы фактически можем рассмотреть стержень, который закреплен так, что при сжатии и растяжении его боковые размеры не сокращаются. Пусть площадь поперечного сечения такого стержня равна $A$, а длина $L$. Рассмотрим элемент стержня длиной $\Delta z$, расположенный на расстоянии $z$ от его конца. Обозначим через $u(z, t)$ смещение этого элемента в волне в момент времени $t$. При статическом растяжении (или сжатии) внутреннее напряжение $F/A$ на всем протяжении стержня одно и то же и пропорционально $u/L$, где $u$ - удлинение стержня. В упругой волне важна местная деформация в точке $z$, т. е. $\frac{ \partial u(z,t) }{ \partial z}$. Для стержня без бокового смещения
$\frac{ \partial u}{ \partial z} = \frac{(1 + \sigma)(1 - 2 \sigma)}{(1 - \sigma)Y} \frac{F(z)}{A}$,
где $F(z)$ - сила, действующая в поперечном сечении на расстоянии $z$ от начала координат. На одном конце элемента $\Delta z$ действует $F(z)$, а на другом $F(z + \Delta z)$. Полная сила, действующая на элемент $\Delta z$, очевидно, равна
$F(z + \Delta z) - F(z) = \frac{dF(z)}{dz} \Delta z = \Delta z \cdot A \frac{(1 - \sigma)Y}{(1 + \sigma)(1 - 2 \sigma)} \frac{ \partial^{2} u }{ \partial z^{2} }$.
Согласно закону Ньютона, эта сила равна произведению массы элемента $\rho \Delta z \cdot A$ ($\rho$ - плотность тела) на его ускорение $\frac{ \partial^{2} u(z,t) }{ \partial t^{2} }$:
$\rho \Delta z A \frac{ \partial^{2} u(z,t) }{ \partial t^{2} } = \Delta z \cdot A \frac{(1 - \sigma)Y}{(1 + \sigma)(1 - 2 \sigma)} \frac{ \partial^{2} u(z,t) }{ \partial z^{2} }$.
Сокращая обе части получившегося уравнения на $\Delta z \cdot A$, получаем
$\frac{ \partial^{2} u(z,t) }{ \partial t^{2} } - v_{прод}^{2} \frac{ \partial^{2} u(z,t) }{ \partial z^{2} } = 0$,
где
$v_{прод}^{2} = \frac{(1 - \sigma)Y}{(1 + \sigma)(1 - 2 \sigma) \rho}$
-квадрат фазовой скорости распространения продольных волн в твердом теле.
