Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10996
2019-10-19 
Алюминиевый стержень квадратного сечения одним концом заделан, а к свободному его концу прикреплена масса $m$. Найдите собственную частоту колебаний такой системы, если площадь сечения стержня равна $a^{2}$, масса его во много раз меньше массы $m$; размерами самой массы $m$ можно пренебречь
Решение:
На тело $m$ действуют две силы: вес тела $\vec{P}$ и упругая сила $\vec{F}$ со стороны стержня, действующая в вертикальном направлении. Поэтому уравнение движения этого тела запишется в виде
$m \ddot{ \vec{r}} = \vec{P} + \vec{F}$.
Спроектируем это уравнение на вертикальную ось (ось $y$): $m \ddot{y} = F_{y} - P$. Согласно формуле для отклонения конца стержня, жестко заделанного в стенку, сила, с которой незакрепленный конец стержня действует на тело $m$, равна
$F_{y} = - \frac{2YIy}{L^{3} }$,
где $y$ - вертикальное смещение массы $m$; $Y$ - модуль Юнга; $I$ - главный момент инерции сечения стержня: $I = a^{4}/12$. Подставляя это выражение для силы $F_{y}$ в уравнение движения, получаем
$m \ddot{y} = - P - \frac{3YI}{L^{2} } y$.
Отсюда находим собственную частоту колебания массы $m$:
$\omega = \sqrt{ \frac{3YI}{L^{3}m } } = \frac{a^{2} }{2} \sqrt{ \frac{Y}{L^{3}m } }$.
Алюминиевый стержень квадратного сечения одним концом заделан, а к свободному его концу прикреплена масса $m$. Найдите собственную частоту колебаний такой системы, если площадь сечения стержня равна $a^{2}$, масса его во много раз меньше массы $m$; размерами самой массы $m$ можно пренебречь
Решение:
На тело $m$ действуют две силы: вес тела $\vec{P}$ и упругая сила $\vec{F}$ со стороны стержня, действующая в вертикальном направлении. Поэтому уравнение движения этого тела запишется в виде
$m \ddot{ \vec{r}} = \vec{P} + \vec{F}$.
Спроектируем это уравнение на вертикальную ось (ось $y$): $m \ddot{y} = F_{y} - P$. Согласно формуле для отклонения конца стержня, жестко заделанного в стенку, сила, с которой незакрепленный конец стержня действует на тело $m$, равна
$F_{y} = - \frac{2YIy}{L^{3} }$,
где $y$ - вертикальное смещение массы $m$; $Y$ - модуль Юнга; $I$ - главный момент инерции сечения стержня: $I = a^{4}/12$. Подставляя это выражение для силы $F_{y}$ в уравнение движения, получаем
$m \ddot{y} = - P - \frac{3YI}{L^{2} } y$.
Отсюда находим собственную частоту колебания массы $m$:
$\omega = \sqrt{ \frac{3YI}{L^{3}m } } = \frac{a^{2} }{2} \sqrt{ \frac{Y}{L^{3}m } }$.
