Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10995
2019-10-19 
В ракетной технике необходимы конструкции, которые обладают максимальной прочностью при минимальном весе.
а) Сравните радиусы двух цилиндрических стержней из алюминия и из стали, обладающих одинаковой жесткостью и длиной. (Жесткость определяется как отношение приложенной поперек стержня силы к результирующему смещению.)
б) Сильно ли отличаются массы этих стержней?
Решение:
Для отклонения конца стержня длиной $L$, жестко заделанного другим концом в стенку:
$x(L) = \frac{FL^{3} }{2YI}$,
где $Y$ - модуль Юнга, $I$ - момент инерции сечения стержня. По определению, жесткость равна отношению $\frac{F}{x(L)} = \frac{3YI}{L^{3}}$. По условию задачи алюминиевый и стальной стержни обладают одинаковой жесткостью и имеют одинаковую длину. Следовательно, $Y_{Al}I_{Al} = Y_{сталь}I_{сталь}$. Так как момент инерции круглого сечения стержня равен $I = \frac{ \pi R^{4}}{4}$, где $R$ - радиус поперечного сечения, то ($Y_{сталь} = 21 \cdot 10^{11} дин/см^{3}, Y_{Al} = 7 \cdot 10^{11} дин/см^{2}$).
а) $\frac{R_{Al}}{R_{сталь}} = \left ( \frac{Y_{сталь}}{Y_{Al}} \right )^{1/4} = 1,32$.
б) Если $\rho$ - плотность вещества, то ($\rho_{Al} = 2,7 г/см^{3}, \rho_{сталь} = 7,8 г/см^{3}$)
$\frac{m_{Al}}{ m_{сталь}} = \frac{ \rho_{Al} R_{Al}^{2} }{ \rho_{сталь} R_{сталь}^{2}} = \frac{ \rho_{Al} }{ \rho_{сталь}} \sqrt{ \frac{сталь}{ Y_{Al} } } \approx 0,6$.
В ракетной технике необходимы конструкции, которые обладают максимальной прочностью при минимальном весе.
а) Сравните радиусы двух цилиндрических стержней из алюминия и из стали, обладающих одинаковой жесткостью и длиной. (Жесткость определяется как отношение приложенной поперек стержня силы к результирующему смещению.)
б) Сильно ли отличаются массы этих стержней?
Решение:
Для отклонения конца стержня длиной $L$, жестко заделанного другим концом в стенку:
$x(L) = \frac{FL^{3} }{2YI}$,
где $Y$ - модуль Юнга, $I$ - момент инерции сечения стержня. По определению, жесткость равна отношению $\frac{F}{x(L)} = \frac{3YI}{L^{3}}$. По условию задачи алюминиевый и стальной стержни обладают одинаковой жесткостью и имеют одинаковую длину. Следовательно, $Y_{Al}I_{Al} = Y_{сталь}I_{сталь}$. Так как момент инерции круглого сечения стержня равен $I = \frac{ \pi R^{4}}{4}$, где $R$ - радиус поперечного сечения, то ($Y_{сталь} = 21 \cdot 10^{11} дин/см^{3}, Y_{Al} = 7 \cdot 10^{11} дин/см^{2}$).
а) $\frac{R_{Al}}{R_{сталь}} = \left ( \frac{Y_{сталь}}{Y_{Al}} \right )^{1/4} = 1,32$.
б) Если $\rho$ - плотность вещества, то ($\rho_{Al} = 2,7 г/см^{3}, \rho_{сталь} = 7,8 г/см^{3}$)
$\frac{m_{Al}}{ m_{сталь}} = \frac{ \rho_{Al} R_{Al}^{2} }{ \rho_{сталь} R_{сталь}^{2}} = \frac{ \rho_{Al} }{ \rho_{сталь}} \sqrt{ \frac{сталь}{ Y_{Al} } } \approx 0,6$.
