Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10991
2019-10-19 
Шар радиуса $a$ однородно намагничен так, что его полный магнитный момент равен $4/3 \pi a^{3}M$, где $M$ - намагниченность. Каковы должны быть поверхностные токи, создающие магнитное поле вне шара (тех же размеров), которое совпадает с полем, создаваемым намагниченным шаром. Покажите, что найденное распределение токов обладает таким же полным магнитным моментом.
Решение:
Токи, связанные с намагниченностью ($\vec{j}_{маг} = \nabla \times \vec{M}$), отличны от нуля только на поверхности шара. Именно эти токи создают магнитное поле вне и внутри шара. Из симметрии задачи ясно, что токи текут по окружностям, плоскости которых перпендикулярны $\vec{M}$. Проведем ось $z$ через центр шара параллельно вектору $\vec{M}$. Представим себе, что изменение $\vec{M}$ на поверхности происходит не скачком, а непрерывно в некотором слое толщиной $d$, и вычислим $j$ в этом слое
$(j_{маг})_{x} = \frac{ \partial M}{ \partial y}$,
$(j_{маг})_{y} = - \frac{ \partial M}{ \partial x}$.
Так как ось $y$ направлена по касательной к поверхности шара, то $\partial M/ \partial y = 0$. Далее, $\Delta x = d/ \sin \theta$; стало быть
$\frac{ \partial M}{ \partial x} = - \frac{M \sin \theta}{d}$ и $j_{маг} = \frac{M \sin \theta}{d} $.
Плотность поверхностных токов равна
$(i_{маг})_{y} = j_{маг} \cdot d = M \sin \theta$.
Эго соотношение можно также записать в виде $\vec{i} = \vec{M} \times \vec{n}$, где $\vec{n}$-нормаль к поверхности шара.
Вычисляя магнитный момент поверхностных токов, находим
$m = \int \pi r^{2} ( \theta) idS = 2M \pi a^{3} \int_{0}^{ \pi /2} \sin^{3} \theta d \theta = \frac{4 \pi}{3} a^{3}M$.
Шар радиуса $a$ однородно намагничен так, что его полный магнитный момент равен $4/3 \pi a^{3}M$, где $M$ - намагниченность. Каковы должны быть поверхностные токи, создающие магнитное поле вне шара (тех же размеров), которое совпадает с полем, создаваемым намагниченным шаром. Покажите, что найденное распределение токов обладает таким же полным магнитным моментом.
Решение:
Токи, связанные с намагниченностью ($\vec{j}_{маг} = \nabla \times \vec{M}$), отличны от нуля только на поверхности шара. Именно эти токи создают магнитное поле вне и внутри шара. Из симметрии задачи ясно, что токи текут по окружностям, плоскости которых перпендикулярны $\vec{M}$. Проведем ось $z$ через центр шара параллельно вектору $\vec{M}$. Представим себе, что изменение $\vec{M}$ на поверхности происходит не скачком, а непрерывно в некотором слое толщиной $d$, и вычислим $j$ в этом слое
$(j_{маг})_{x} = \frac{ \partial M}{ \partial y}$,
$(j_{маг})_{y} = - \frac{ \partial M}{ \partial x}$.
Так как ось $y$ направлена по касательной к поверхности шара, то $\partial M/ \partial y = 0$. Далее, $\Delta x = d/ \sin \theta$; стало быть
$\frac{ \partial M}{ \partial x} = - \frac{M \sin \theta}{d}$ и $j_{маг} = \frac{M \sin \theta}{d} $.
Плотность поверхностных токов равна
$(i_{маг})_{y} = j_{маг} \cdot d = M \sin \theta$.
Эго соотношение можно также записать в виде $\vec{i} = \vec{M} \times \vec{n}$, где $\vec{n}$-нормаль к поверхности шара.
Вычисляя магнитный момент поверхностных токов, находим
$m = \int \pi r^{2} ( \theta) idS = 2M \pi a^{3} \int_{0}^{ \pi /2} \sin^{3} \theta d \theta = \frac{4 \pi}{3} a^{3}M$.
