Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10988
2019-10-19 
К металлу в течение долгого времени приложено постоянное электрическое поле, а затем оно мгновенно выключается. Используя модель свободных электронов, покажите, что время релаксации (т. е. время, в течение которого дрейфовая скорость электронов падает в $e$ раз) равно $\tau$, где $\tau$ - среднее время между столкновениями.
Решение:
Так как электрическое поле, действующее на электроны проводимости, равно среднему полю $\vec{E}$, то, полагая $\omega_{0} = 0, v_{дрейф} = x$, можно записать уравнение для дрейфовой скорости электронов:
$\frac{d v_{дрейф}}{dt} = \frac{q_{e}E }{m} - \frac{v_{дрейф}}{ \tau}$.
Когда поле $\vec{E}$ постоянно действует на электроны проводимости, $dv_{дрейф}/dt = 0$, для дрейфовой скорости получаем
$v_{дрейф}^{(0)} = \frac{q_{e}E }{m} \tau$.
Если же в момент Времени $t = 0$ электрическое поле мгновенно выключается, дрейфовая скорость электронов будет меняться согласно однородному дифференциальному уравнению
$\frac{ dv_{дрейф}}{dt} = \frac{d v_{дрейф}}{ \tau}$.
Решая это уравнение, находим
$v_{дрейф} = \frac{q_{e}E }{m} \tau e^{ - t / \tau}$.
Это решение отвечает начальному условию задачи, согласно которому $v_{дрейф} = v_{дрейф}^{(0)}$ при $t=0$. Из него видно, что время, за которое величина дрейфовой скорости уменьшится в $e$ раз, в точности равно $\tau$ - среднему времени между соударениями.
К металлу в течение долгого времени приложено постоянное электрическое поле, а затем оно мгновенно выключается. Используя модель свободных электронов, покажите, что время релаксации (т. е. время, в течение которого дрейфовая скорость электронов падает в $e$ раз) равно $\tau$, где $\tau$ - среднее время между столкновениями.
Решение:
Так как электрическое поле, действующее на электроны проводимости, равно среднему полю $\vec{E}$, то, полагая $\omega_{0} = 0, v_{дрейф} = x$, можно записать уравнение для дрейфовой скорости электронов:
$\frac{d v_{дрейф}}{dt} = \frac{q_{e}E }{m} - \frac{v_{дрейф}}{ \tau}$.
Когда поле $\vec{E}$ постоянно действует на электроны проводимости, $dv_{дрейф}/dt = 0$, для дрейфовой скорости получаем
$v_{дрейф}^{(0)} = \frac{q_{e}E }{m} \tau$.
Если же в момент Времени $t = 0$ электрическое поле мгновенно выключается, дрейфовая скорость электронов будет меняться согласно однородному дифференциальному уравнению
$\frac{ dv_{дрейф}}{dt} = \frac{d v_{дрейф}}{ \tau}$.
Решая это уравнение, находим
$v_{дрейф} = \frac{q_{e}E }{m} \tau e^{ - t / \tau}$.
Это решение отвечает начальному условию задачи, согласно которому $v_{дрейф} = v_{дрейф}^{(0)}$ при $t=0$. Из него видно, что время, за которое величина дрейфовой скорости уменьшится в $e$ раз, в точности равно $\tau$ - среднему времени между соударениями.
