Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10985
2019-10-19 
В момент времени $t=0$ частица массы $m$ с зарядом $q$ покоится в начале координат. На частицу действует однородное электрическое поле $\vec{E}$, направленное по оси $y$, и однородное магнитное поле $\vec{B}$, направленное по оси $z$.
а) Найдите последующее движение частицы, т. е. ее координаты $x(t), y(t), z(t)$, предполагая движение нерелятивистским. Какое условие на $\vec{E}$ и $\vec{B}$ накладывает это предположение?
б) Какой характер будет иметь движение в том случае, если $E/B > c$?
в) Пусть разность потенциалов между двумя параллельными пластинами, одна из которых совпадает с плоскостью $xz (y =0)$, а другая находится на расстоянии $d (y=d)$, равна $V_{0} = E \cdot d$, и между пластинами приложено магнитное поле, параллельное пластинам. Пусть кинетическая энергия электронов, вылетающих из отрицательно заряженной пластины, равна нулю. При каком значении' напряженности магнитного поля испущенные электроны не будут достигать другой пластины?
Решение:
а) Так как движение предполагается нерелятивистским, то импульс частицы с ее скоростью связан обычным соотношением
$\vec{p} = m \vec{v}$.
Уравнение движения и начальные условия имеют вид
$m \vec{v} = q ( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$,
$x (0) = y (0) = z (0) = 0, \dot{x}(0) = \dot{y}(0) = \dot{z}(0) = 0$.
Уравнение движения в компонентах запишутся в виде
$\ddot{x} = \frac{qB}{m} \dot{y}, \ddot{y} = \frac{qE}{m} - \frac{qB}{m} \dot{x}, \ddot{z} = 0$.
Из последнего уравнения с учетом начальных условий следует, что $z(t) = 0$, т. е. движение происходит в плоскости $xy$. Если сложить первые два уравнения, предварительно умножив обе части второго уравнения на мнимую единицу и ввести обозначения $\omega = \frac{qB}{m}, x + iy = \eta$, то получим одно уравнение $\ddot{ \eta}_{0} + i \omega \dot{ \eta} = \frac{iqE}{m}$. Решение этого уравнения будет суммой решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. Решение однородного уравнения $\ddot{ \eta}_{0} + i \omega \dot{ \eta}_{0} = 0$ можно представить в виде $\eta_{0} = C e^{ - i \omega t}$, где комплексную константу $C$ можно написать как произведение ее модуля на фазовый множитель: $C = a e^{ i \phi}$. В качестве частного решения неоднородного уравнения можно взять $\eta_{1} = \frac{qEt}{m \omega}$. Следовательно,
$\eta = ae^{- i \omega t + i \phi} + \frac{qE}{m \omega}t \equiv x + iy$.
Отделяя мнимую часть от вещественной и принимая во внимание начальные условия, окончательно находим
$x = \frac{qE}{m \omega^{2} } ( \omega t - \sin \omega t)$
$y = \frac{qE}{m \omega^{2} } (1 - \cos \omega t)$,
т.e. траектория в плоскости является циклоидой (см. рисунок). Заметим, что из выражения $\dot{x} = \frac{qE}{m \omega }( 1 - \cos \omega t)$ следует, что предположение о нерелятивистском характере движения справедливо, если $\frac{qE}{m \omega} \ll c$, т. е. $\frac{E}{Bc} \ll 1$.
в) Рассмотрим решение $y(t) = \frac{qE}{m \omega^{2}} (1 - \cos \omega t)$, найденное в пункте (а) задачи. Условием того, что частица не попадает на анод, будет условие: $y_{max} < d$. Отсюда следует, что должно выполняться неравенство
$\frac{2qE}{m \omega^{2} } < d$ или $B > \sqrt{ \frac{2mc^{2}E }{qd} }$.
В момент времени $t=0$ частица массы $m$ с зарядом $q$ покоится в начале координат. На частицу действует однородное электрическое поле $\vec{E}$, направленное по оси $y$, и однородное магнитное поле $\vec{B}$, направленное по оси $z$.
а) Найдите последующее движение частицы, т. е. ее координаты $x(t), y(t), z(t)$, предполагая движение нерелятивистским. Какое условие на $\vec{E}$ и $\vec{B}$ накладывает это предположение?
б) Какой характер будет иметь движение в том случае, если $E/B > c$?
в) Пусть разность потенциалов между двумя параллельными пластинами, одна из которых совпадает с плоскостью $xz (y =0)$, а другая находится на расстоянии $d (y=d)$, равна $V_{0} = E \cdot d$, и между пластинами приложено магнитное поле, параллельное пластинам. Пусть кинетическая энергия электронов, вылетающих из отрицательно заряженной пластины, равна нулю. При каком значении' напряженности магнитного поля испущенные электроны не будут достигать другой пластины?
Решение:
а) Так как движение предполагается нерелятивистским, то импульс частицы с ее скоростью связан обычным соотношением
$\vec{p} = m \vec{v}$.
Уравнение движения и начальные условия имеют вид
$m \vec{v} = q ( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$,
$x (0) = y (0) = z (0) = 0, \dot{x}(0) = \dot{y}(0) = \dot{z}(0) = 0$.
Уравнение движения в компонентах запишутся в виде
$\ddot{x} = \frac{qB}{m} \dot{y}, \ddot{y} = \frac{qE}{m} - \frac{qB}{m} \dot{x}, \ddot{z} = 0$.
Из последнего уравнения с учетом начальных условий следует, что $z(t) = 0$, т. е. движение происходит в плоскости $xy$. Если сложить первые два уравнения, предварительно умножив обе части второго уравнения на мнимую единицу и ввести обозначения $\omega = \frac{qB}{m}, x + iy = \eta$, то получим одно уравнение $\ddot{ \eta}_{0} + i \omega \dot{ \eta} = \frac{iqE}{m}$. Решение этого уравнения будет суммой решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. Решение однородного уравнения $\ddot{ \eta}_{0} + i \omega \dot{ \eta}_{0} = 0$ можно представить в виде $\eta_{0} = C e^{ - i \omega t}$, где комплексную константу $C$ можно написать как произведение ее модуля на фазовый множитель: $C = a e^{ i \phi}$. В качестве частного решения неоднородного уравнения можно взять $\eta_{1} = \frac{qEt}{m \omega}$. Следовательно,
$\eta = ae^{- i \omega t + i \phi} + \frac{qE}{m \omega}t \equiv x + iy$.
Отделяя мнимую часть от вещественной и принимая во внимание начальные условия, окончательно находим
$x = \frac{qE}{m \omega^{2} } ( \omega t - \sin \omega t)$
$y = \frac{qE}{m \omega^{2} } (1 - \cos \omega t)$,
т.e. траектория в плоскости является циклоидой (см. рисунок). Заметим, что из выражения $\dot{x} = \frac{qE}{m \omega }( 1 - \cos \omega t)$ следует, что предположение о нерелятивистском характере движения справедливо, если $\frac{qE}{m \omega} \ll c$, т. е. $\frac{E}{Bc} \ll 1$.
в) Рассмотрим решение $y(t) = \frac{qE}{m \omega^{2}} (1 - \cos \omega t)$, найденное в пункте (а) задачи. Условием того, что частица не попадает на анод, будет условие: $y_{max} < d$. Отсюда следует, что должно выполняться неравенство
$\frac{2qE}{m \omega^{2} } < d$ или $B > \sqrt{ \frac{2mc^{2}E }{qd} }$.
