Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10984
2019-10-19 
На полый тороид, средний радиус которого равен $R$, а радиус поперечного сечения $r (r \ll R)$, намотано $N$ витков проволоки. В момент времени $t = 0$ по проволоке пропускается ток, сила которого нарастает со временем по линейному закону
$I(t) = Kt$.
а) Найдите магнитное поле и энергию, запасенную в тороиде к моменту времени $t$.
б) Найдите направление и величину вектора Пойн-тинга в любой внутренней точке тороида в момент времени $t$.
в) Используя вектор Пойнтинга, найдите скорость изменения со временем энергии электромагнитного поля внутри тороида в произвольный момент времени. Убедитесь в правильности вашего ответа, используя решение к пункту (а) задачи.
Решение:
а) Учитывая тот факт, что $r \ll R$, магнитное поле внутри тороидальной катушки можно приближенно считать однородным по поперечному сечению. Выбрав в качестве контура интегрирования среднюю линию тороида, с помощью теоремы Стокса легко найти
$B = \frac{NKt}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}R }$.
Выберем в поперечном сечении тороида контур интегрирования в форме окружности радиусом $\rho(0 \leq \rho \leq r$). Так как магнитное поле мы считаем однородным по сечению, то магнитный поток через этот контур равен
$\Phi = \pi \rho^{2}B = \frac{ \pi \rho^{2} }{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } \frac{NKt}{R}$.
Следовательно, э.д.с. в этом контуре равна
$\mathcal{E} = - \frac{ \partial \Phi}{ \partial t} = - \frac{ \pi \rho^{2} NK }{2 \pi \epsilon_{0}c^{2}R }$.
С другой стороны, считая приближенно напряженность электрического поля одинаковой по величине во всех точках этого контура, интегрируя вдоль него, находим
$\mathcal{E} = \int Edl = E \cdot 2 \pi \rho$
(вектор $\vec{E}$ в каждой точке контура направлен по касательной). Таким образом,
$\vec{E} = - \frac{ \rho NK}{4 \pi \epsilon_{0}c^{2}R }$.
Энергия, запасенная в тороидальной катушке к моменту времени $t$, равна
$W = \frac{ \epsilon_{0} }{2} \int (E^{2} + c^{2}B^{2} )dV = \frac{ \pi r^{2} }{ 4 \pi \epsilon_{0}c^{2} } \frac{N^{2}K^{2}t^{2} }{R} + \frac{ \epsilon_{0} }{2} \left ( \frac{NK}{4 \pi \epsilon_{0}c^{2}R } \right )^{2} \pi r^{5}$.
б) Найдем направление и величину вектора Пойцтинга на поверхности тороида. Величины напряженностей $E$ и $B$ найдены в пункте (а). Направления $\vec{E}$ и $\vec{B}$ таковы, что вектор Пойнтинга $\vec{S}$ в каждой точке на поверхности тороида нормален к поверхности и направлен внутрь тороида. Кроме того, $\vec{E} \perp \vec{B}$ в каждой точке, Следовательно, модуль вектора Пойнтинга равен
$S = \epsilon_{0} c^{2} E \cdot B = \frac{rt}{8 \pi^{2} \epsilon_{0} c^{2}R^{2} } (NK)^{2}$.
Отсюда полная мощность поглощаемой тороидом энергии, равная потоку вектора Пойнтинга через всю поверхность тороида (последняя приближенно равна $2 \pi r_{0} \cdot 2 \pi R$), оказывается равной
$\oint \vec{S} d \vec{ \sigma} = \frac{ \pi r^{2}t (NK)^{2} }{2 \pi \epsilon_{0}c^{2}R }$.
Этот результат верен, так как выполняется условие
$- \frac{ \partial W}{ \partial t} = \oint \vec{S} d \vec{ \sigma}$.
На полый тороид, средний радиус которого равен $R$, а радиус поперечного сечения $r (r \ll R)$, намотано $N$ витков проволоки. В момент времени $t = 0$ по проволоке пропускается ток, сила которого нарастает со временем по линейному закону
$I(t) = Kt$.
а) Найдите магнитное поле и энергию, запасенную в тороиде к моменту времени $t$.
б) Найдите направление и величину вектора Пойн-тинга в любой внутренней точке тороида в момент времени $t$.
в) Используя вектор Пойнтинга, найдите скорость изменения со временем энергии электромагнитного поля внутри тороида в произвольный момент времени. Убедитесь в правильности вашего ответа, используя решение к пункту (а) задачи.
Решение:
а) Учитывая тот факт, что $r \ll R$, магнитное поле внутри тороидальной катушки можно приближенно считать однородным по поперечному сечению. Выбрав в качестве контура интегрирования среднюю линию тороида, с помощью теоремы Стокса легко найти
$B = \frac{NKt}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}R }$.
Выберем в поперечном сечении тороида контур интегрирования в форме окружности радиусом $\rho(0 \leq \rho \leq r$). Так как магнитное поле мы считаем однородным по сечению, то магнитный поток через этот контур равен
$\Phi = \pi \rho^{2}B = \frac{ \pi \rho^{2} }{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } \frac{NKt}{R}$.
Следовательно, э.д.с. в этом контуре равна
$\mathcal{E} = - \frac{ \partial \Phi}{ \partial t} = - \frac{ \pi \rho^{2} NK }{2 \pi \epsilon_{0}c^{2}R }$.
С другой стороны, считая приближенно напряженность электрического поля одинаковой по величине во всех точках этого контура, интегрируя вдоль него, находим
$\mathcal{E} = \int Edl = E \cdot 2 \pi \rho$
(вектор $\vec{E}$ в каждой точке контура направлен по касательной). Таким образом,
$\vec{E} = - \frac{ \rho NK}{4 \pi \epsilon_{0}c^{2}R }$.
Энергия, запасенная в тороидальной катушке к моменту времени $t$, равна
$W = \frac{ \epsilon_{0} }{2} \int (E^{2} + c^{2}B^{2} )dV = \frac{ \pi r^{2} }{ 4 \pi \epsilon_{0}c^{2} } \frac{N^{2}K^{2}t^{2} }{R} + \frac{ \epsilon_{0} }{2} \left ( \frac{NK}{4 \pi \epsilon_{0}c^{2}R } \right )^{2} \pi r^{5}$.
б) Найдем направление и величину вектора Пойцтинга на поверхности тороида. Величины напряженностей $E$ и $B$ найдены в пункте (а). Направления $\vec{E}$ и $\vec{B}$ таковы, что вектор Пойнтинга $\vec{S}$ в каждой точке на поверхности тороида нормален к поверхности и направлен внутрь тороида. Кроме того, $\vec{E} \perp \vec{B}$ в каждой точке, Следовательно, модуль вектора Пойнтинга равен
$S = \epsilon_{0} c^{2} E \cdot B = \frac{rt}{8 \pi^{2} \epsilon_{0} c^{2}R^{2} } (NK)^{2}$.
Отсюда полная мощность поглощаемой тороидом энергии, равная потоку вектора Пойнтинга через всю поверхность тороида (последняя приближенно равна $2 \pi r_{0} \cdot 2 \pi R$), оказывается равной
$\oint \vec{S} d \vec{ \sigma} = \frac{ \pi r^{2}t (NK)^{2} }{2 \pi \epsilon_{0}c^{2}R }$.
Этот результат верен, так как выполняется условие
$- \frac{ \partial W}{ \partial t} = \oint \vec{S} d \vec{ \sigma}$.
