Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10980
2019-10-19 
Длинный коаксиальный кабель изготовлен из двух идеально проводящих концентрических цилиндров. Один конец кабеля подсоединен, к электрической батарее, напряжение на клеммах которой равно $V$. К другому концу кабеля присоединено сопротивление $R$. Следовательно, ток, протекающий по кабелю, равен $I=V/R$. С помощью вектора Пойн-тинга вычислите скорость потока энергии.
Решение:
Очевидно, что электромагнитное поле будет заключено в пространстве между цилиндрами. Так как цилиндры изготовлены из идеальных проводников, электрическое поле перпендикулярно поверхности цилиндров, т. е. радиально. Магнитное поле $B$ на расстоянии $r$ от оси цилиндров легко найти по теореме Стокса ($a \leq r \leq b$): $B = \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}r}$. Силовые линии магнитного поля представляют собой концентрические окружности с центрами на оси цилиндров. Следовательно, вектор Пойнтинга направлен вдоль оси цилиндров. В задаче 10926 была найдена емкость $C$, приходящаяся на единицу длины такого кабеля, как в данной задаче: $C = \frac{2 \pi \epsilon_{0}}{ln \frac{b}{a}}$. Учитывая, что заряды на цилиндрах связаны с разностью потенциалов $V$ соотношением $q = VC$, и используя теорему Гаусса, находим, что напряженность электрического поля $E$ в пространстве между цилиндрами равна $E = \frac{V}{r} ln \frac{b}{a}$. Поэтому вектор Пойнтинга в каждой точке этого пространства равен по величине
$| \vec{S}| = \epsilon_{0}c^{2} | \vec{E} \times \vec{B}| = \frac{IV}{2 \pi r^{2} ln \frac{b}{a} }$.
Плотность энергии электромагнитного поля
$W = \frac{ \epsilon_{0}}{2} [ \vec{E}^{2} + c^{2} \vec{B}^{2}] = \frac{ \epsilon_{0}V^{2} }{2r^{2} } \left [ \frac{1}{ln^{2} \frac{b}{a} } + \frac{c^{2} }{R^{2} (2 \pi \epsilon_{0}c^{2} )^{2} } \right ]$.
Таким образом, скорость распространения энергии равна
$v = \frac{ | \vec{S} | }{W} = \frac{2R}{R^{2}C + L }$,
где $L = \frac{ ln \frac{b}{a}}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} }$ - емкость единицы длины кабеля (см. решение к задаче 10962). Заметим, что в Силу того, что $LC = \frac{1}{c^{2}}, v = c$ при $R = \sqrt{L/C}$.
Длинный коаксиальный кабель изготовлен из двух идеально проводящих концентрических цилиндров. Один конец кабеля подсоединен, к электрической батарее, напряжение на клеммах которой равно $V$. К другому концу кабеля присоединено сопротивление $R$. Следовательно, ток, протекающий по кабелю, равен $I=V/R$. С помощью вектора Пойн-тинга вычислите скорость потока энергии.
Решение:
Очевидно, что электромагнитное поле будет заключено в пространстве между цилиндрами. Так как цилиндры изготовлены из идеальных проводников, электрическое поле перпендикулярно поверхности цилиндров, т. е. радиально. Магнитное поле $B$ на расстоянии $r$ от оси цилиндров легко найти по теореме Стокса ($a \leq r \leq b$): $B = \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}r}$. Силовые линии магнитного поля представляют собой концентрические окружности с центрами на оси цилиндров. Следовательно, вектор Пойнтинга направлен вдоль оси цилиндров. В задаче 10926 была найдена емкость $C$, приходящаяся на единицу длины такого кабеля, как в данной задаче: $C = \frac{2 \pi \epsilon_{0}}{ln \frac{b}{a}}$. Учитывая, что заряды на цилиндрах связаны с разностью потенциалов $V$ соотношением $q = VC$, и используя теорему Гаусса, находим, что напряженность электрического поля $E$ в пространстве между цилиндрами равна $E = \frac{V}{r} ln \frac{b}{a}$. Поэтому вектор Пойнтинга в каждой точке этого пространства равен по величине
$| \vec{S}| = \epsilon_{0}c^{2} | \vec{E} \times \vec{B}| = \frac{IV}{2 \pi r^{2} ln \frac{b}{a} }$.
Плотность энергии электромагнитного поля
$W = \frac{ \epsilon_{0}}{2} [ \vec{E}^{2} + c^{2} \vec{B}^{2}] = \frac{ \epsilon_{0}V^{2} }{2r^{2} } \left [ \frac{1}{ln^{2} \frac{b}{a} } + \frac{c^{2} }{R^{2} (2 \pi \epsilon_{0}c^{2} )^{2} } \right ]$.
Таким образом, скорость распространения энергии равна
$v = \frac{ | \vec{S} | }{W} = \frac{2R}{R^{2}C + L }$,
где $L = \frac{ ln \frac{b}{a}}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} }$ - емкость единицы длины кабеля (см. решение к задаче 10962). Заметим, что в Силу того, что $LC = \frac{1}{c^{2}}, v = c$ при $R = \sqrt{L/C}$.
