Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10976
2019-10-19 
Коаксиальный кабель состоит из двух концентрических проводящих цилиндров. Один конец ($x=0$) кабеля подсоединен к генератору переменного напряжения $V(t) = V_{0} \cos \omega t$. Другой конец ($x = l$) закрыт проводящей пластиной. Индуктивность и емкость единицы длины кабеля равны $L_{0}$ и $C_{0}$. Поле в таком кабеле можно представить в виде суперпозиции двух волн: падающей и отраженной от закороченного конца. Амплитуды и фазы этих волн должны быть подобраны так, чтобы суммарное напряжение между проводниками было равно нулю при $x=l$ и $V_{0} \cos \omega t$ при $x=0$.
а) Напишите выражения для падающей и отраженной волн.
б) Нарисуйте кривую зависимости напряжения между проводниками от расстояния $x$, если длина кабеля $l$ равна $5 \pi c/2 \omega$ ($x$ - скорость света). Укажите значения $x$, для которых напряжение максимально.
в) Чему равен ток в точках $x=0, x = \frac{l}{2} = \frac{1}{2} \frac{5 \pi c}{2 \omega}$ и $x = l = \frac{5 \pi c}{2 \omega}$?
г) Предполагая источник напряжения идеальным, определите средний момент сил, который должен быть приложен к его ротору, чтобы последний вращался с угловой скоростью $\omega$.
Решение:
а) Напряжение в произвольной точке $x$ в момент времени $t$ есть суперпозиция падающей и отраженной волн!
$\hat{V}(x,t)= \hat{V}_{пад} (x, t) + \hat{V}_{отр} (x, t) = A_{1} e^{i \omega t - kx} + A_{2} e^{i( \omega t + kx) }$, где $k = \omega /c$. Для $x = l, V(l, t) = 0$, поэтому $A_{1} e^{-ikl} + A_{2} e^{ikl} = 0$, т. е. $A_{2} = - A_{1} e^{ - 2 i kl}$. Для $x = 0, V (0, t) = V_{0} \cos \omega t$, поэтому $V_{0} = A_{1} + A_{2}$. В итоге находим
$A_{1} = \frac{V_{0}e^{ikl} }{2i \sin kl }, A_{2} = - \frac{V_{0}e^{ikl} }{2i \sin kl}$.
Таким образом,
$V_{пад}(x, t) = \frac{V_{0}}{2 \sin kl} \sin ( \omega t - kx + kl)$,
$V_{отр}(x, t) = \frac{V_{0}}{2 \sin kl} \sin ( \omega t + kx - kl)$.
Обратим внимание на то, что при $kl = \pi n$ ($n$ - целое число) амплитуды волн, согласно нашим формулам, обращаются в бесконечность. Физически это означает наступление резонанса-частота источника сравнивается с одной из резонансных частот отрезка кабеля. Амплитуда колебаний при резонансе на самом деле безусловно конечна: величина ее определяется омическими потерями, которыми мы пренебрегли.
б) $V(x,t) = V_{пад} (x,t) + V_{отр}(x,t) = \frac{V_{0}}{ \sin kl} \sin [k(l-x)] \cos \omega t$ при $l = \frac{5 \pi c}{2 \omega} = \frac{5x}{4}$ ($\lambda = \frac{2 \pi c}{ \omega}$), $V(x, t) = \cos \frac{ \omega x}{l} \cos \omega t$. Амплитуда напряжения максимальна при $x = 0, x = \lambda /2, x = \lambda$ (см. рисунок).
в) Находим
$I(0)=0, I \left ( x = \frac{l}{2} \right ) = -V_{0} \sqrt{ \frac{C_{0}}{2L_{0} }} \sin \omega t$,
$I(x = l) = V_{0} \sqrt{ \frac{C_{0} }{L_{0} }} \sin \omega t$.
г) Так как поглощение отсутствует, средняя работа, производимая генератором, равна нулю [в этом можно убедиться также, вычислив среднее значение $I(0)V_{0}(0)$]. Поэтому и средний момент силы равен нулю.
Коаксиальный кабель состоит из двух концентрических проводящих цилиндров. Один конец ($x=0$) кабеля подсоединен к генератору переменного напряжения $V(t) = V_{0} \cos \omega t$. Другой конец ($x = l$) закрыт проводящей пластиной. Индуктивность и емкость единицы длины кабеля равны $L_{0}$ и $C_{0}$. Поле в таком кабеле можно представить в виде суперпозиции двух волн: падающей и отраженной от закороченного конца. Амплитуды и фазы этих волн должны быть подобраны так, чтобы суммарное напряжение между проводниками было равно нулю при $x=l$ и $V_{0} \cos \omega t$ при $x=0$.
а) Напишите выражения для падающей и отраженной волн.
б) Нарисуйте кривую зависимости напряжения между проводниками от расстояния $x$, если длина кабеля $l$ равна $5 \pi c/2 \omega$ ($x$ - скорость света). Укажите значения $x$, для которых напряжение максимально.
в) Чему равен ток в точках $x=0, x = \frac{l}{2} = \frac{1}{2} \frac{5 \pi c}{2 \omega}$ и $x = l = \frac{5 \pi c}{2 \omega}$?
г) Предполагая источник напряжения идеальным, определите средний момент сил, который должен быть приложен к его ротору, чтобы последний вращался с угловой скоростью $\omega$.
Решение:
а) Напряжение в произвольной точке $x$ в момент времени $t$ есть суперпозиция падающей и отраженной волн!
$\hat{V}(x,t)= \hat{V}_{пад} (x, t) + \hat{V}_{отр} (x, t) = A_{1} e^{i \omega t - kx} + A_{2} e^{i( \omega t + kx) }$, где $k = \omega /c$. Для $x = l, V(l, t) = 0$, поэтому $A_{1} e^{-ikl} + A_{2} e^{ikl} = 0$, т. е. $A_{2} = - A_{1} e^{ - 2 i kl}$. Для $x = 0, V (0, t) = V_{0} \cos \omega t$, поэтому $V_{0} = A_{1} + A_{2}$. В итоге находим
$A_{1} = \frac{V_{0}e^{ikl} }{2i \sin kl }, A_{2} = - \frac{V_{0}e^{ikl} }{2i \sin kl}$.
Таким образом,
$V_{пад}(x, t) = \frac{V_{0}}{2 \sin kl} \sin ( \omega t - kx + kl)$,
$V_{отр}(x, t) = \frac{V_{0}}{2 \sin kl} \sin ( \omega t + kx - kl)$.
Обратим внимание на то, что при $kl = \pi n$ ($n$ - целое число) амплитуды волн, согласно нашим формулам, обращаются в бесконечность. Физически это означает наступление резонанса-частота источника сравнивается с одной из резонансных частот отрезка кабеля. Амплитуда колебаний при резонансе на самом деле безусловно конечна: величина ее определяется омическими потерями, которыми мы пренебрегли.
б) $V(x,t) = V_{пад} (x,t) + V_{отр}(x,t) = \frac{V_{0}}{ \sin kl} \sin [k(l-x)] \cos \omega t$ при $l = \frac{5 \pi c}{2 \omega} = \frac{5x}{4}$ ($\lambda = \frac{2 \pi c}{ \omega}$), $V(x, t) = \cos \frac{ \omega x}{l} \cos \omega t$. Амплитуда напряжения максимальна при $x = 0, x = \lambda /2, x = \lambda$ (см. рисунок).
в) Находим
$I(0)=0, I \left ( x = \frac{l}{2} \right ) = -V_{0} \sqrt{ \frac{C_{0}}{2L_{0} }} \sin \omega t$,
$I(x = l) = V_{0} \sqrt{ \frac{C_{0} }{L_{0} }} \sin \omega t$.
г) Так как поглощение отсутствует, средняя работа, производимая генератором, равна нулю [в этом можно убедиться также, вычислив среднее значение $I(0)V_{0}(0)$]. Поэтому и средний момент силы равен нулю.
