Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10974
2019-10-19 
Секция цилиндрической коаксиальной линии передачи закрыта с обоих концов проводящими пластинами. Длина полости, образованной таким способом, равна $l$. Для самой низкой моды, электрическое поле которой радиально:
а) найдите частоту;
б) найдите выражение для $\vec{E}$;
в) сравните найденную частоту с $\omega_{0} = 1/ \sqrt{LC}$, где $L$ - индуктивность, а $C$ - емкость, приходящиеся на длину $l$ бесконечной коаксиальной линии.
Решение:
Направим ось $z$ вдоль оси цилиндра. Величина напряженности электрического поля в рассматриваемом случае зависит только от $z$ и $r$ ($r$ - расстояние от оси цилиндра). Зависимость от $z$ необходима для того, чтобы поле на торцах секции, где оно параллельно проводящей поверхности, обращалось в нуль, а зависимость от $r$ при фиксированном $z$ можно найти, используя теорему Гаусса. Имеем $E = \frac{f(z)}{r}$, где $f(z)$ - некоторая подлежащая определению функция $z$. Компоненты напряженности электрического поля равны $E_{x} = \frac{x}{r^{2}} f(z), E_{y} = \frac{y}{r^{2}} f(z)$. Для каждой из этих компонент справедливо уравнение
$\Delta E_{x} + \frac{ \omega^{2} }{c^{2} } E_{x} = 0$,
которое после подстановки в него выражения для $E_{x}$ сводится к
$\frac{d^{2} f(z)}{dz^{2} } + \frac{ \omega^{2}}{c^{2} } f(z) = 0$.
Решением такого уравнения являются синусы и косинусы. Нам нужно такое решение, которое обращается в нуль при $z = 0$ и $z = l$. Очевидно, таким решением будет $\sin \frac{ \pi nz}{l}$, где $n$-целое число. Стало быть $\omega = \frac{ \pi n c}{l}$. Для самой низкой моды $n = 1$ и $\omega = \frac{ \pi c}{l}$.
Емкость единицы длины такой линии передачи равна (см. решение к задаче 10926) $C = \frac{2 \pi \epsilon_{0}}{ln \frac{b}{a}}$, а индуктивность единицы длины (см. решение к задаче 10962) равна $L = \frac{ln \frac{b}{a} }{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} }$. Отсюда частота $\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC} } = \frac{c}{l}$. Эта частота в $\pi$ раз меньше найденной выше минимальной собственной частоты резонатора.
Секция цилиндрической коаксиальной линии передачи закрыта с обоих концов проводящими пластинами. Длина полости, образованной таким способом, равна $l$. Для самой низкой моды, электрическое поле которой радиально:
а) найдите частоту;
б) найдите выражение для $\vec{E}$;
в) сравните найденную частоту с $\omega_{0} = 1/ \sqrt{LC}$, где $L$ - индуктивность, а $C$ - емкость, приходящиеся на длину $l$ бесконечной коаксиальной линии.
Решение:
Направим ось $z$ вдоль оси цилиндра. Величина напряженности электрического поля в рассматриваемом случае зависит только от $z$ и $r$ ($r$ - расстояние от оси цилиндра). Зависимость от $z$ необходима для того, чтобы поле на торцах секции, где оно параллельно проводящей поверхности, обращалось в нуль, а зависимость от $r$ при фиксированном $z$ можно найти, используя теорему Гаусса. Имеем $E = \frac{f(z)}{r}$, где $f(z)$ - некоторая подлежащая определению функция $z$. Компоненты напряженности электрического поля равны $E_{x} = \frac{x}{r^{2}} f(z), E_{y} = \frac{y}{r^{2}} f(z)$. Для каждой из этих компонент справедливо уравнение
$\Delta E_{x} + \frac{ \omega^{2} }{c^{2} } E_{x} = 0$,
которое после подстановки в него выражения для $E_{x}$ сводится к
$\frac{d^{2} f(z)}{dz^{2} } + \frac{ \omega^{2}}{c^{2} } f(z) = 0$.
Решением такого уравнения являются синусы и косинусы. Нам нужно такое решение, которое обращается в нуль при $z = 0$ и $z = l$. Очевидно, таким решением будет $\sin \frac{ \pi nz}{l}$, где $n$-целое число. Стало быть $\omega = \frac{ \pi n c}{l}$. Для самой низкой моды $n = 1$ и $\omega = \frac{ \pi c}{l}$.
Емкость единицы длины такой линии передачи равна (см. решение к задаче 10926) $C = \frac{2 \pi \epsilon_{0}}{ln \frac{b}{a}}$, а индуктивность единицы длины (см. решение к задаче 10962) равна $L = \frac{ln \frac{b}{a} }{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} }$. Отсюда частота $\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC} } = \frac{c}{l}$. Эта частота в $\pi$ раз меньше найденной выше минимальной собственной частоты резонатора.
