Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10972
2019-10-19 
Найдите приближенно «резонансную» частоту для полости, изображенной на рисунке, предполагая, что $d \ll a$ и $d \ll (b-a)$. Какими основными эффектами вы пренебрегли? Если полость равномерно остывает (т. е. температура во всех точках полости в один и тот же момент времени одинакова), приведет ли ее тепловое сжатие к увеличению или уменьшению резонансной частоты? А может быть, она останется неизменной?
Решение:
Будем считать, что вся емкость резонансной полости определяется узким зазором, отдавая, разумеется, себе отчет в том, что это лишь некоторое приближение. С другой стороны, предположим, что вся индуктивность полости определяется ее тороидальной частью, причем напряженность магнитного поля во всех точках сечения полости, расположенных на расстоянии $r$ от ее оси, одинакова. Если зазор рассматривать как плоский конденсатор, то его емкость равна $C = \frac{ \epsilon_{0} \pi a^{2}}{d}$. Найдем далее напряженность магнитного поля, выбрав контур в виде окружности радиуса $r$, ось которой совпадает с осью симметрии полости, и воспользуемся тем, что
$\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = 2 \pi r B = \frac{I}{ \epsilon_{0}c^{2} }$,
где $I$ - полный ток, который течет через конденсатор. Имеем $B = \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2}r}$. Определим $W = \frac{1}{2} LI^{2}$ - энергию магнитного поля в тороидальной части полости:
$W = \frac{ \epsilon_{0}c^{2} }{2} \int B^{2} \cdot dV = \frac{I^{2} }{2} \frac{(b - a)}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \frac{b}{a}$.
Отсюда находим $L = \frac{b - a}{2 \pi \epsilon_{0}^{2} c^{2}} ln \frac{b}{a}$ и, следовательно, получаем искомое выражение для резонансной частоты
$\omega = \frac{1}{ \sqrt{LC} } = \sqrt{ \frac{2dc^[2 }{a^{2}(b - a) ln \frac{b}{a} } }$.
Так как при охлаждении полости все ее размеры $d, a, b$ уменьшатся в одинаковое число раз, резонансная частота не изменится.
Найдите приближенно «резонансную» частоту для полости, изображенной на рисунке, предполагая, что $d \ll a$ и $d \ll (b-a)$. Какими основными эффектами вы пренебрегли? Если полость равномерно остывает (т. е. температура во всех точках полости в один и тот же момент времени одинакова), приведет ли ее тепловое сжатие к увеличению или уменьшению резонансной частоты? А может быть, она останется неизменной?
Решение:
Будем считать, что вся емкость резонансной полости определяется узким зазором, отдавая, разумеется, себе отчет в том, что это лишь некоторое приближение. С другой стороны, предположим, что вся индуктивность полости определяется ее тороидальной частью, причем напряженность магнитного поля во всех точках сечения полости, расположенных на расстоянии $r$ от ее оси, одинакова. Если зазор рассматривать как плоский конденсатор, то его емкость равна $C = \frac{ \epsilon_{0} \pi a^{2}}{d}$. Найдем далее напряженность магнитного поля, выбрав контур в виде окружности радиуса $r$, ось которой совпадает с осью симметрии полости, и воспользуемся тем, что
$\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = 2 \pi r B = \frac{I}{ \epsilon_{0}c^{2} }$,
где $I$ - полный ток, который течет через конденсатор. Имеем $B = \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2}r}$. Определим $W = \frac{1}{2} LI^{2}$ - энергию магнитного поля в тороидальной части полости:
$W = \frac{ \epsilon_{0}c^{2} }{2} \int B^{2} \cdot dV = \frac{I^{2} }{2} \frac{(b - a)}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \frac{b}{a}$.
Отсюда находим $L = \frac{b - a}{2 \pi \epsilon_{0}^{2} c^{2}} ln \frac{b}{a}$ и, следовательно, получаем искомое выражение для резонансной частоты
$\omega = \frac{1}{ \sqrt{LC} } = \sqrt{ \frac{2dc^[2 }{a^{2}(b - a) ln \frac{b}{a} } }$.
Так как при охлаждении полости все ее размеры $d, a, b$ уменьшатся в одинаковое число раз, резонансная частота не изменится.
