Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10967
2019-10-19 
Электрическая цепь имеет вид, изображенный на схеме.
а) Изобразите схематически зависимость амплитуды тока в цепи от частоты для произвольно выбранных величин $L,C$ и $R$.
б) Если $R \gg \sqrt{L/C}$, сравните частоту резонанса и ширину пика резонансной кривой данной цепи с аналогичными величинами для цепи с последовательным соединением ее элементов, но при $R \ll \sqrt{L/C}$. Специально рассмотрите случай $R = K \sqrt{L/C}$ для цепи с параллельным соединением и случай $R = (1/K) \sqrt{L/C}$ для цепи с последовательным соединением
Решение:
При параллельном соединении импеданс цепи находится следующим образом: $Z^{-1} = R^{-1} + i \left [ \omega C - \frac{1}{ \omega L} \right ]$. Вводя комплексную э. д. с. $\hat{V} = V_{0} e^{ i \omega t}$ и определяя силу тока в цепи $I = \frac{ \hat{V}}{Z ( \omega)}$, находим выражение для амплитуды силы тока
$I_{0} = V_{0} \sqrt{ \left ( \frac{1}{R} \right )^{2} + \left ( \omega C - \frac{1}{ \omega L} \right )^{2} }$.
При $\omega_{0}^{2} = \frac{1}{LC}$ наступает «резонанс»: при этом условии сила тока в цепи минимальна и равна (по амплитуде) $I_{min} = \frac{V_{0}}{R}$. Примерный характер «резонансной» кривой изображен на фиг. При малых $\omega$ ток в цепи течет в основном через индуктивность, а при больших-через емкость. В момент резонанса ток течет лишь через активное сопротивление.
Определим ширину резонансной кривой подобно тому, как это делалось при анализе механических колебаний. Для $I_{0}^{2}$ имеем
$I_{0}^{2} = V_{0}^{2} \left [ R^{-2} + \left ( \omega C - \frac{1}{L \omega} \right )^{2} \right ] = \frac{V_{0}^{2}C^{2} }{ \omega^{2} } \left [ \frac{ \omega^{2} }{(RC)^{2} } - ( \omega^{2} - \omega_{0}^{2} )^{2} \right ]$,
где $\omega_{0}^{2} = 1 /LC$. Если $1/RC \ll \omega_{0}$, т. е. $R \gg \sqrt{L/C}$, эту формулу можно упростить
$I_{0}^{2} = V_{0}^{2} \cdot 4C^{2} \left [ ( \omega - \omega_{0} )^{2} + \frac{1}{4 (RC)^{2} } \right ]$.
Ширину резонансной кривой определим по частотам, при которых $I_{0}^{2}$ в два раза больше, чем в резонансе. Находим $\Delta \omega = \frac{1}{RC}$. При последовательном соединении элементов импеданс цепи $Z( \omega ) = R + i \left [ \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right ]$, а амплитуда тока
$I_{0} = \frac{V_{0} }{ \sqrt{R^{2} + \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^[2 } }$.
Резонансная кривая в этом случае имеет вид, изображенный на фиг. Зависимость $I_{0}^{2}$ от частоты здесь равна
$I_{0}^{2} = \frac{V_{0}^{2} }{ \frac{L^{2} }{ \omega^{2} } \left [ \frac{R^{2} }{L^{2} } \omega^{2} + ( \omega^{2} - \omega_{0}^{2} )^{2} \right ] }$,
где опять-таки $\omega_{0}^{2} = \frac{1}{LC}$. При $\frac{R}{L} \ll \omega_{0}$, т. е. $R \ll \sqrt{L/C}$,
$I_{0}^{2} = \frac{V_{0}^{2} }{4L^{2} \left [ \frac{ R^{2}}{ 4L^{2} } + ( \omega - \omega_{0} )^{2} \right ] }$.
Ширина резонансной кривой равна $\Delta \omega = R/L$. Если $R = k \sqrt{L/C}$ для параллельного соединения и $R = \frac{1}{k} \sqrt{ \frac{L}{C}}$ для последовательного, то ширина резонансной кривой в обоих случаях в $k$ раз меньше резонансной частоты.
Электрическая цепь имеет вид, изображенный на схеме.
а) Изобразите схематически зависимость амплитуды тока в цепи от частоты для произвольно выбранных величин $L,C$ и $R$.
б) Если $R \gg \sqrt{L/C}$, сравните частоту резонанса и ширину пика резонансной кривой данной цепи с аналогичными величинами для цепи с последовательным соединением ее элементов, но при $R \ll \sqrt{L/C}$. Специально рассмотрите случай $R = K \sqrt{L/C}$ для цепи с параллельным соединением и случай $R = (1/K) \sqrt{L/C}$ для цепи с последовательным соединением
Решение:
При параллельном соединении импеданс цепи находится следующим образом: $Z^{-1} = R^{-1} + i \left [ \omega C - \frac{1}{ \omega L} \right ]$. Вводя комплексную э. д. с. $\hat{V} = V_{0} e^{ i \omega t}$ и определяя силу тока в цепи $I = \frac{ \hat{V}}{Z ( \omega)}$, находим выражение для амплитуды силы тока
$I_{0} = V_{0} \sqrt{ \left ( \frac{1}{R} \right )^{2} + \left ( \omega C - \frac{1}{ \omega L} \right )^{2} }$.
При $\omega_{0}^{2} = \frac{1}{LC}$ наступает «резонанс»: при этом условии сила тока в цепи минимальна и равна (по амплитуде) $I_{min} = \frac{V_{0}}{R}$. Примерный характер «резонансной» кривой изображен на фиг. При малых $\omega$ ток в цепи течет в основном через индуктивность, а при больших-через емкость. В момент резонанса ток течет лишь через активное сопротивление.
Определим ширину резонансной кривой подобно тому, как это делалось при анализе механических колебаний. Для $I_{0}^{2}$ имеем
$I_{0}^{2} = V_{0}^{2} \left [ R^{-2} + \left ( \omega C - \frac{1}{L \omega} \right )^{2} \right ] = \frac{V_{0}^{2}C^{2} }{ \omega^{2} } \left [ \frac{ \omega^{2} }{(RC)^{2} } - ( \omega^{2} - \omega_{0}^{2} )^{2} \right ]$,
где $\omega_{0}^{2} = 1 /LC$. Если $1/RC \ll \omega_{0}$, т. е. $R \gg \sqrt{L/C}$, эту формулу можно упростить
$I_{0}^{2} = V_{0}^{2} \cdot 4C^{2} \left [ ( \omega - \omega_{0} )^{2} + \frac{1}{4 (RC)^{2} } \right ]$.
Ширину резонансной кривой определим по частотам, при которых $I_{0}^{2}$ в два раза больше, чем в резонансе. Находим $\Delta \omega = \frac{1}{RC}$. При последовательном соединении элементов импеданс цепи $Z( \omega ) = R + i \left [ \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right ]$, а амплитуда тока
$I_{0} = \frac{V_{0} }{ \sqrt{R^{2} + \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^[2 } }$.
Резонансная кривая в этом случае имеет вид, изображенный на фиг. Зависимость $I_{0}^{2}$ от частоты здесь равна
$I_{0}^{2} = \frac{V_{0}^{2} }{ \frac{L^{2} }{ \omega^{2} } \left [ \frac{R^{2} }{L^{2} } \omega^{2} + ( \omega^{2} - \omega_{0}^{2} )^{2} \right ] }$,
где опять-таки $\omega_{0}^{2} = \frac{1}{LC}$. При $\frac{R}{L} \ll \omega_{0}$, т. е. $R \ll \sqrt{L/C}$,
$I_{0}^{2} = \frac{V_{0}^{2} }{4L^{2} \left [ \frac{ R^{2}}{ 4L^{2} } + ( \omega - \omega_{0} )^{2} \right ] }$.
Ширина резонансной кривой равна $\Delta \omega = R/L$. Если $R = k \sqrt{L/C}$ для параллельного соединения и $R = \frac{1}{k} \sqrt{ \frac{L}{C}}$ для последовательного, то ширина резонансной кривой в обоих случаях в $k$ раз меньше резонансной частоты.
