Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10965
2019-10-19 
Принципиальная схема устройства высокой точности звуковоспроизведения имеет такой вид, как изображено на рисунке. Эффективное сопротивление каждого громкоговорителя равно $R$.
а) Покажите, что при $R^{2} = \frac{L}{2C}$ импеданс на входе (на клеммах генератора) веществен и равен $R$.
б) Покажите, что $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$. Частота $\omega_{c}$ определяется как та частота, при которой на каждый из громкоговорителей приходится 1/2 общей мощности.
Решение:
а) Схему можно представить в следующем виде:
$Z_{1} = i \omega L$,
$Z_{2} = R$,
$Z_{3} = \frac{1}{i \omega C}$.
Импеданс верхней цепи при этом равен
$Z^{ \prime} = \frac{z}{Z_{2} + Z_{3}}$,
а импеданс нижней $Z^{ \prime \prime} = \frac{z}{Z_{1} + Z_{2}}$, где $Z = Z_{1}Z_{2} + Z_{1}Z_{3} + Z_{2}Z_{3}$. Полный импеданс цепи равен $Z = \frac{Z^{ \prime}Z^{ \prime \prime} }{Z^{ \prime} + Z^{ \prime \prime}}= \frac{Z}{Z_{1} + 2Z_{2} + Z_{3}}$.
Подставляя в последнее выражение $Z_{i}$, с учетом того, что $R^{2} = \frac{L}{2C}$, получаем $Z = R$.
б) Убедимся, что при $\omega = \omega_{c} = \sqrt{ \frac{1}{LC}}$ энергия, выделяемая на $Z^{ \prime}$, равна энергии, выделяемой на $Z^{ \prime \prime}$. Для этого необходимо, чтобы $|Z^{ \prime} | = |Z^{ \prime \prime} |$ и $Re Z^{ \prime} = Re Z^{ \prime \prime}$. Из найденных в пункте (а) выражений для $Z^{ \prime}$ и $Z^{ \prime \prime}$ следует, что должно выполняться равенство $| Z_{2} + Z_{3} | = | Z_{1} + Z_{2} |$, т. е. $\sqrt{R^{2} + \frac{1}{ \omega^{2}L^{2}}} = \sqrt{ R^{2} + \omega^{2} L^{2}}$. Следовательно, $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$.
Принципиальная схема устройства высокой точности звуковоспроизведения имеет такой вид, как изображено на рисунке. Эффективное сопротивление каждого громкоговорителя равно $R$.
а) Покажите, что при $R^{2} = \frac{L}{2C}$ импеданс на входе (на клеммах генератора) веществен и равен $R$.
б) Покажите, что $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$. Частота $\omega_{c}$ определяется как та частота, при которой на каждый из громкоговорителей приходится 1/2 общей мощности.
Решение:
а) Схему можно представить в следующем виде:
$Z_{1} = i \omega L$,
$Z_{2} = R$,
$Z_{3} = \frac{1}{i \omega C}$.
Импеданс верхней цепи при этом равен
$Z^{ \prime} = \frac{z}{Z_{2} + Z_{3}}$,
а импеданс нижней $Z^{ \prime \prime} = \frac{z}{Z_{1} + Z_{2}}$, где $Z = Z_{1}Z_{2} + Z_{1}Z_{3} + Z_{2}Z_{3}$. Полный импеданс цепи равен $Z = \frac{Z^{ \prime}Z^{ \prime \prime} }{Z^{ \prime} + Z^{ \prime \prime}}= \frac{Z}{Z_{1} + 2Z_{2} + Z_{3}}$.
Подставляя в последнее выражение $Z_{i}$, с учетом того, что $R^{2} = \frac{L}{2C}$, получаем $Z = R$.
б) Убедимся, что при $\omega = \omega_{c} = \sqrt{ \frac{1}{LC}}$ энергия, выделяемая на $Z^{ \prime}$, равна энергии, выделяемой на $Z^{ \prime \prime}$. Для этого необходимо, чтобы $|Z^{ \prime} | = |Z^{ \prime \prime} |$ и $Re Z^{ \prime} = Re Z^{ \prime \prime}$. Из найденных в пункте (а) выражений для $Z^{ \prime}$ и $Z^{ \prime \prime}$ следует, что должно выполняться равенство $| Z_{2} + Z_{3} | = | Z_{1} + Z_{2} |$, т. е. $\sqrt{R^{2} + \frac{1}{ \omega^{2}L^{2}}} = \sqrt{ R^{2} + \omega^{2} L^{2}}$. Следовательно, $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$.
