Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10963
2019-10-19 
Тороидальная катушка из $N$ витков, внутренний радиус которой равен $b$, в поперечном сечении имеет форму квадрата со сторонами, равными $a$.
а) Покажите, что индуктивность катушки равна
$L = \frac{N^{2}a }{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \left ( 1 + \frac{a}{b} \right )$.
б) Выразите через те же величины взаимную индукцию системы, состоящей из тороидальной катушки и длинного прямолинейного провода, вытянутого вдоль оси симметрии катушки. Считайте, что проводники, замыкающие цепь, настолько удалены от катушки, что их влиянием можно пренебречь.
в) Найдите отношение индуктивности катушки к взаимной индукции системы.
Решение:
а) Напряженность магнитного поля внутри тороидальной катушки легко найти по теореме Стокса, если в качестве стоксовой поверхности взять поверхность, «натянутую» на окружность радиуса $r$. Для $b < r < b + a$ находим
$B = \frac{NI}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2}r }$,
где $N$-число витков обмотки, $I$-сила тока в обмотке. Далее вычислим энергию магнитного поля внутри тороидальной катушки. Интегрируя по объему тороида, найдем
$U = \frac{ \epsilon_{0}c^{2} }{2} \int B^{2}dV = \frac{ \epsilon_{0}c^{2} }{2} \left ( \frac{NI}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } \right )^{2} 2 \pi a ln \frac{b + a}{b}$.
Приравнивая $U$ величине $1/2 LI^{2}$, окончательно находим
$L = \frac{N^{2}a }{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \left ( 1 + \frac{a}{b} \right )$.
б) Для определения взаимной индукции системы, состоящей из тороидальной катушки и прямолинейного провода, вычислим $\Phi_{0}$ - магнитный поток, создаваемый проводом через поперечное сечение тороида. Так как напряженность магнитного поля $\vec{B}$, создаваемая прямолинейным проводником на расстоянии $r$ от него, равна $B = \frac{I_{1}}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2}r}$ (силовые линии поля $B$ представляют собой концентрические окружности), то магнитный поток через один виток тороидальной катушки равен
$\Phi_{0} = \int \vec{B} \cdot d \vec{S} = \frac{I_{1}a }{2 \pi \epsilon_{0} c^{2} } ln \left ( 1 + \frac{a}{b} \right )$,
где $I_{1}$ - сила тока в проводе. Поскольку в катушке $N$ витков, поток нужно умножить на $N$. Следовательно, э. д. с. в катушке дается выражением
$\mathcal{E} = - N \frac{d \Phi_{0} }{dt} = - \frac{aN}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \left ( 1 + \frac{a}{b} \right ) \frac{dI_{1} }{dt} = + T \frac{dI_{1} }{dt}$.
Отсюда
$T = - \frac{aN}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \left ( 1 + \frac{a}{b} \right )$.
в) Из пунктов (а) и (б) следует, что $\frac{L}{|T|} = N$.
Тороидальная катушка из $N$ витков, внутренний радиус которой равен $b$, в поперечном сечении имеет форму квадрата со сторонами, равными $a$.
а) Покажите, что индуктивность катушки равна
$L = \frac{N^{2}a }{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \left ( 1 + \frac{a}{b} \right )$.
б) Выразите через те же величины взаимную индукцию системы, состоящей из тороидальной катушки и длинного прямолинейного провода, вытянутого вдоль оси симметрии катушки. Считайте, что проводники, замыкающие цепь, настолько удалены от катушки, что их влиянием можно пренебречь.
в) Найдите отношение индуктивности катушки к взаимной индукции системы.
Решение:
а) Напряженность магнитного поля внутри тороидальной катушки легко найти по теореме Стокса, если в качестве стоксовой поверхности взять поверхность, «натянутую» на окружность радиуса $r$. Для $b < r < b + a$ находим
$B = \frac{NI}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2}r }$,
где $N$-число витков обмотки, $I$-сила тока в обмотке. Далее вычислим энергию магнитного поля внутри тороидальной катушки. Интегрируя по объему тороида, найдем
$U = \frac{ \epsilon_{0}c^{2} }{2} \int B^{2}dV = \frac{ \epsilon_{0}c^{2} }{2} \left ( \frac{NI}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } \right )^{2} 2 \pi a ln \frac{b + a}{b}$.
Приравнивая $U$ величине $1/2 LI^{2}$, окончательно находим
$L = \frac{N^{2}a }{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \left ( 1 + \frac{a}{b} \right )$.
б) Для определения взаимной индукции системы, состоящей из тороидальной катушки и прямолинейного провода, вычислим $\Phi_{0}$ - магнитный поток, создаваемый проводом через поперечное сечение тороида. Так как напряженность магнитного поля $\vec{B}$, создаваемая прямолинейным проводником на расстоянии $r$ от него, равна $B = \frac{I_{1}}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2}r}$ (силовые линии поля $B$ представляют собой концентрические окружности), то магнитный поток через один виток тороидальной катушки равен
$\Phi_{0} = \int \vec{B} \cdot d \vec{S} = \frac{I_{1}a }{2 \pi \epsilon_{0} c^{2} } ln \left ( 1 + \frac{a}{b} \right )$,
где $I_{1}$ - сила тока в проводе. Поскольку в катушке $N$ витков, поток нужно умножить на $N$. Следовательно, э. д. с. в катушке дается выражением
$\mathcal{E} = - N \frac{d \Phi_{0} }{dt} = - \frac{aN}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \left ( 1 + \frac{a}{b} \right ) \frac{dI_{1} }{dt} = + T \frac{dI_{1} }{dt}$.
Отсюда
$T = - \frac{aN}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \left ( 1 + \frac{a}{b} \right )$.
в) Из пунктов (а) и (б) следует, что $\frac{L}{|T|} = N$.
