Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10962
2019-10-19 
Кабель сделан из провода и охватывающего его коаксиального проводящего цилиндра, по которому течет ток в противоположном направлении. Радиус внутреннего провода кабеля равен $a$, а внешний радиус цилиндра равен $b$.
а) Покажите, что если предположить, что ток во внутреннем проводе течет только по его поверхности, то индуктивность, приходящаяся на единицу длины кабеля, равна
$L = \frac{1}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \frac{b}{a}$.
б) Вычислите индуктивность, если ток равномерно распределен по сечению внутреннего провода кабеля. Сравните оба полученных результата. Сильно ли зависит результат от характера распределения тока по сечению центрального провода?
Решение:
а) Напряженность магнитного поля внутри кабеля найдем с помощью теоремы Стокса, учтя, что в силу симметрии задачи силовыми линиями магнитного поля будут концентрические окружности. В каждой точке силовой линии радиуса $r$ напряженность магнитного поля равна $B = I/2 \pi \epsilon_{0}c^{2}r$. Чтобы найти индуктивность кабеля, определим энергию магнитного поля $U = \frac{ \epsilon_{0}c^{2}}{2} \int B^{2} dV$, приходящуюся на единицу длины кабеля. Разделим объем между цилиндрами на цилиндрические слои толщиной $dr$ и учтем, что объем такого слоя, расположенного на расстоянии $r$ от оси кабеля, равен $dV = 2 \pi r dr$, после чего найдем
$U = \frac{ \epsilon_{0}c^{2} }{2} \left ( \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } \right )^{2} \int_{a}^{b} \frac{2 \pi r dr}{r^{2} } = \frac{ \epsilon_{0}c^{2} }{2} \left ( \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } \right )^{2} 2 \pi ln \frac{b}{a}$.
Приравнивая это выражение величине $1/2 LI^{2}$, найдем индуктивность, приходящуюся на единицу длины кабеля:
$L = \frac{1}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \frac{b}{a}$.
б) В этом случае напряженность магнитного поля В при $a < r < b$ равна найденной в пункте (а). С помощью теоремы Стокса найдем, что для $0 < r < a \: B = \frac{Ir}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}a^{2}}$. Вычислим далее энергию магнитного поля во внутреннем проводе, приходящуюся на единицу длины. Поступая так же, кай в пункте (а), получаем
$U_{1} = \frac{ \epsilon_{0}c^{2} }{2} \left ( \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2} } \right )^{2} \frac{2 \pi}{4a}$.
Складывая это выражение с $U_{1}$ и приравнивая сумму величине $\frac{1}{2}LI^{2}$, находим
$L = \frac{1}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } \left [ ln \frac{b}{a} + \frac{1}{4} \right ]$.
Если $b \gg a$, то из найденного выражения для $L$ следует, что результат слабо зависит от характера распределения тока по сечению центрального провода.
Кабель сделан из провода и охватывающего его коаксиального проводящего цилиндра, по которому течет ток в противоположном направлении. Радиус внутреннего провода кабеля равен $a$, а внешний радиус цилиндра равен $b$.
а) Покажите, что если предположить, что ток во внутреннем проводе течет только по его поверхности, то индуктивность, приходящаяся на единицу длины кабеля, равна
$L = \frac{1}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \frac{b}{a}$.
б) Вычислите индуктивность, если ток равномерно распределен по сечению внутреннего провода кабеля. Сравните оба полученных результата. Сильно ли зависит результат от характера распределения тока по сечению центрального провода?
Решение:
а) Напряженность магнитного поля внутри кабеля найдем с помощью теоремы Стокса, учтя, что в силу симметрии задачи силовыми линиями магнитного поля будут концентрические окружности. В каждой точке силовой линии радиуса $r$ напряженность магнитного поля равна $B = I/2 \pi \epsilon_{0}c^{2}r$. Чтобы найти индуктивность кабеля, определим энергию магнитного поля $U = \frac{ \epsilon_{0}c^{2}}{2} \int B^{2} dV$, приходящуюся на единицу длины кабеля. Разделим объем между цилиндрами на цилиндрические слои толщиной $dr$ и учтем, что объем такого слоя, расположенного на расстоянии $r$ от оси кабеля, равен $dV = 2 \pi r dr$, после чего найдем
$U = \frac{ \epsilon_{0}c^{2} }{2} \left ( \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } \right )^{2} \int_{a}^{b} \frac{2 \pi r dr}{r^{2} } = \frac{ \epsilon_{0}c^{2} }{2} \left ( \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } \right )^{2} 2 \pi ln \frac{b}{a}$.
Приравнивая это выражение величине $1/2 LI^{2}$, найдем индуктивность, приходящуюся на единицу длины кабеля:
$L = \frac{1}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } ln \frac{b}{a}$.
б) В этом случае напряженность магнитного поля В при $a < r < b$ равна найденной в пункте (а). С помощью теоремы Стокса найдем, что для $0 < r < a \: B = \frac{Ir}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}a^{2}}$. Вычислим далее энергию магнитного поля во внутреннем проводе, приходящуюся на единицу длины. Поступая так же, кай в пункте (а), получаем
$U_{1} = \frac{ \epsilon_{0}c^{2} }{2} \left ( \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2} } \right )^{2} \frac{2 \pi}{4a}$.
Складывая это выражение с $U_{1}$ и приравнивая сумму величине $\frac{1}{2}LI^{2}$, находим
$L = \frac{1}{2 \pi \epsilon_{0}c^{2} } \left [ ln \frac{b}{a} + \frac{1}{4} \right ]$.
Если $b \gg a$, то из найденного выражения для $L$ следует, что результат слабо зависит от характера распределения тока по сечению центрального провода.
