Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10957
2019-10-19 
Скорость вращения Земли в принципе можно определить, измерив разность потенциалов между центром и поверхностью проводящего цилиндра, помещенного на Северном полюсе Земли так, что его ось проходит через центр земного шара.
а) Покажите, что эту разность потенциалов можно представить в виде
$V = \left ( \frac{v}{c} \right )^{2} \frac{ \lambda }{4 \pi \epsilon_{0} }$,
где $v$ - линейная скорость точек на поверхности цилиндра, а $\lambda$ - поверхностный заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра,
б) Можно ли представить себе установку с разумными параметрами для измерения этого эффекта?
Решение:
а) Если отрезком проволоки соединить ось цилиндра с его поверхностью, то, поскольку провод движется в магнитном поле, сила $q ( \vec{v} \times \vec{B})$ приведет к тому, что концы провода зарядятся. Зарядка будет происходить до тех пор, Пока электрическое поле $\vec{E}$ не уравновесит ($\vec{v} \times \vec{B}$), т. е. при $E(x) = \omega \cdot x \cdot B$. При этом разность потенциалов на концах провода будет равна $V = \int_{0}^{b} E (x) dx = ( \omega b^{2}/2) B$, где $b$ - радиус цилиндра. Магнитное поле внутри цилиндра (вне его оно равно нулю) легко найти с помощью теоремы Стокса, выбирая контур интегрирования так, как показано на рисунке: $B = \lambda \omega /2 \pi \epsilon_{0}c^{2}$. Отсюда ответ:
$V = \left ( \frac{v}{c} \right )^{2} \frac{ \lambda}{4 \pi \epsilon_{0} }$
б) Пусть в нашем распоряжении имеется очень чувствительный вольтметр, с помощью которого можно замерять разности потенциалов в $10^{-10} в$. Из найденного выражения для $V$ следует, что величина $V$ тем выше, чем больше $\lambda$ - заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра. Пусть плотность поверхностных зарядов о на цилиндре достаточно велика, скажем такая же; как на проводящей сфере с радиусом в $a=1 м$, заряженной до потенциала в $V_{0} = 10^{6} в$. Тогда $\sigma = \epsilon_{0}V_{0}/a$ и $\lambda = 2 \pi \epsilon_{0} V_{0}b/a$. Подставляя это значение $\lambda$ в выражение для $V$ и учитывая, что $v = \omega \cdot b$, где $\omega = 10^{-4} сек^{-1}$, найдем $b = \left [ \frac{2c^{2}a}{ \omega^{2}} \frac{V}{VB_{0}} \right ]^{1/3} = 1200 м$, что нереально.
Скорость вращения Земли в принципе можно определить, измерив разность потенциалов между центром и поверхностью проводящего цилиндра, помещенного на Северном полюсе Земли так, что его ось проходит через центр земного шара.
а) Покажите, что эту разность потенциалов можно представить в виде
$V = \left ( \frac{v}{c} \right )^{2} \frac{ \lambda }{4 \pi \epsilon_{0} }$,
где $v$ - линейная скорость точек на поверхности цилиндра, а $\lambda$ - поверхностный заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра,
б) Можно ли представить себе установку с разумными параметрами для измерения этого эффекта?
Решение:
а) Если отрезком проволоки соединить ось цилиндра с его поверхностью, то, поскольку провод движется в магнитном поле, сила $q ( \vec{v} \times \vec{B})$ приведет к тому, что концы провода зарядятся. Зарядка будет происходить до тех пор, Пока электрическое поле $\vec{E}$ не уравновесит ($\vec{v} \times \vec{B}$), т. е. при $E(x) = \omega \cdot x \cdot B$. При этом разность потенциалов на концах провода будет равна $V = \int_{0}^{b} E (x) dx = ( \omega b^{2}/2) B$, где $b$ - радиус цилиндра. Магнитное поле внутри цилиндра (вне его оно равно нулю) легко найти с помощью теоремы Стокса, выбирая контур интегрирования так, как показано на рисунке: $B = \lambda \omega /2 \pi \epsilon_{0}c^{2}$. Отсюда ответ:
$V = \left ( \frac{v}{c} \right )^{2} \frac{ \lambda}{4 \pi \epsilon_{0} }$
б) Пусть в нашем распоряжении имеется очень чувствительный вольтметр, с помощью которого можно замерять разности потенциалов в $10^{-10} в$. Из найденного выражения для $V$ следует, что величина $V$ тем выше, чем больше $\lambda$ - заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра. Пусть плотность поверхностных зарядов о на цилиндре достаточно велика, скажем такая же; как на проводящей сфере с радиусом в $a=1 м$, заряженной до потенциала в $V_{0} = 10^{6} в$. Тогда $\sigma = \epsilon_{0}V_{0}/a$ и $\lambda = 2 \pi \epsilon_{0} V_{0}b/a$. Подставляя это значение $\lambda$ в выражение для $V$ и учитывая, что $v = \omega \cdot b$, где $\omega = 10^{-4} сек^{-1}$, найдем $b = \left [ \frac{2c^{2}a}{ \omega^{2}} \frac{V}{VB_{0}} \right ]^{1/3} = 1200 м$, что нереально.
