Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10956
2019-10-19 
При производстве пластмассовой пленки широкая тонкая полоса пластмассы протягивается со скоростью $v$ через два последовательно расположенных ролика. В процессе обработки поверхность пленки приобретает равномерно распределенный электрический заряд $\sigma$.
а) Найдите векторный потенциал вблизи поверхности полосы, в центре пролета между роликами (вблизи точки Р на рисунке).
б) Чему равно поле $\vec{B}$ в этой же области?
Решение:
а) Для определения векторного потенциала в точках, удаленных от поверхности пленки на расстояние, гораздо меньшее ее размеров, воспользуемся правилом: $i$-я компонента векторного потенциала, возникающая от плотности тока $\vec{j}$, точно такая же, как электрический потенциал $\phi$, созданный плотностью зарядов $\rho = j_{i}/c^{2}$. Так как пленку в условиях задачи можно считать неограниченной во всех направлениях, то воспользуемся уже решенной задачей о поле равномерно заряженной плоскости. Выберем сетку координат, направив ось $x$ вдоль вектора $\vec{v}$, а ось $\vec{z}$ - перпендикулярно плоскости пленки. В такой системе координат поверхностный ток имеет только компоненту $x$, отличную от нуля, поэтому $A_{y} = A_{z} = 0$. Электрическое поле равномерно заряженной плоскости, равно
$\vec{E} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} } \vec{e}_{z}$,
где $\vec{e}_{z}$ - единичный вектор в направлении оси $\vec{z}$. Интегрируя соотношение $E_{z} = - \partial \phi / \partial z$, находим электрический потенциал $\phi = -( \sigma /2 \epsilon_{0}) z$ (постоянную интегрирования выбираем равной нулю). Используя сформулированное выше правило, находим
$A_{x} = - \frac{ \sigma v}{2 \epsilon_{0}c^{2} }z, A_{y} = A_{z} = 0$.
Так как $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$, то, проделав необходимое дифференцирование, находим $B_{x} = 0, B_{y} = \sigma v/2 \epsilon_{0}c^{2}$, $B_{z} = 0$. В векторной форме
$\vec{B} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} c^{2} } ( \vec{e}_{z} \times \vec{v} )$.
При производстве пластмассовой пленки широкая тонкая полоса пластмассы протягивается со скоростью $v$ через два последовательно расположенных ролика. В процессе обработки поверхность пленки приобретает равномерно распределенный электрический заряд $\sigma$.
а) Найдите векторный потенциал вблизи поверхности полосы, в центре пролета между роликами (вблизи точки Р на рисунке).
б) Чему равно поле $\vec{B}$ в этой же области?
Решение:
а) Для определения векторного потенциала в точках, удаленных от поверхности пленки на расстояние, гораздо меньшее ее размеров, воспользуемся правилом: $i$-я компонента векторного потенциала, возникающая от плотности тока $\vec{j}$, точно такая же, как электрический потенциал $\phi$, созданный плотностью зарядов $\rho = j_{i}/c^{2}$. Так как пленку в условиях задачи можно считать неограниченной во всех направлениях, то воспользуемся уже решенной задачей о поле равномерно заряженной плоскости. Выберем сетку координат, направив ось $x$ вдоль вектора $\vec{v}$, а ось $\vec{z}$ - перпендикулярно плоскости пленки. В такой системе координат поверхностный ток имеет только компоненту $x$, отличную от нуля, поэтому $A_{y} = A_{z} = 0$. Электрическое поле равномерно заряженной плоскости, равно
$\vec{E} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} } \vec{e}_{z}$,
где $\vec{e}_{z}$ - единичный вектор в направлении оси $\vec{z}$. Интегрируя соотношение $E_{z} = - \partial \phi / \partial z$, находим электрический потенциал $\phi = -( \sigma /2 \epsilon_{0}) z$ (постоянную интегрирования выбираем равной нулю). Используя сформулированное выше правило, находим
$A_{x} = - \frac{ \sigma v}{2 \epsilon_{0}c^{2} }z, A_{y} = A_{z} = 0$.
Так как $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$, то, проделав необходимое дифференцирование, находим $B_{x} = 0, B_{y} = \sigma v/2 \epsilon_{0}c^{2}$, $B_{z} = 0$. В векторной форме
$\vec{B} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} c^{2} } ( \vec{e}_{z} \times \vec{v} )$.
