Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10950
2019-10-19 
а) В ряде случаев электростатический потенциал $\phi$ можно представить в виде $\phi = f(r) \cos \theta = f(r) \frac{z}{r}$, где $r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$. Например, потенциал такого вида возникает при решении задачи об обтекании шара «сухой» водой. Если функцию $f(r)$ разложить в ряд
$f(r) = \sum_{ n = - \infty}{ \infty} b_{n}r^{n}$,
то для потенциала $\phi$, удовлетворяющего уравнению Лапласа, только два коэффициента $b_{n}$ будут отличны от нуля. Найдите эти коэффициенты.
б) В двумерной задаче потенциал $\phi$ может быть записан в виде
$\phi = g( \rho) \cos \theta = g( \rho) \frac{z}{ \rho}, g( \rho ) = \sum_{n = - \infty}^{ \infty} c_{n} \rho^{n}$,
где $\rho^{2} = y^{2} + z^{2}$. Найдите отличные от нуля коэффициенты, если потенциал $\phi$ удовлетворяет уравнению Лапласа.
При решении задачи используйте декартову систему координат.
Решение:
а) Трехмерный случай: $\phi = \sum_{n = - \infty}^{ \infty} b_{n}zr^{n - 1}$. Подставляя это выражение для $\phi$ в уравнение $\Delta \phi = 0$, получаем $\Delta \phi = \sum_{n = - \infty}^{ \infty} (n - 1)(n + 2)b_{n}zr^{ n - 3} = 0$. Нетривиальное решение получившегося уравнения будет при условии, что коэффициенты $b_{1}$ и $b_{-2}$ отличны от нуля. Следовательно,
$\phi = b_{1}z + \frac{b_{-2}z }{r^{3} }$
б) Двумерный случай: $\phi = \sum_{n = - \infty}^{ \infty} c_{n}z \rho^{n - 1}$. В этом случае $\Delta \phi = \sum_{n}(n-1)(n + 1)c_{n}z \rho^{n - 2} = 0$. Следовательно, лишь $c_{1}$ и $c_{-1}$ отличны от нуля и решение имеет вид
$\phi = c_{1}z + \frac{ c_{-1}z}{ \rho^{2}}$.
а) В ряде случаев электростатический потенциал $\phi$ можно представить в виде $\phi = f(r) \cos \theta = f(r) \frac{z}{r}$, где $r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$. Например, потенциал такого вида возникает при решении задачи об обтекании шара «сухой» водой. Если функцию $f(r)$ разложить в ряд
$f(r) = \sum_{ n = - \infty}{ \infty} b_{n}r^{n}$,
то для потенциала $\phi$, удовлетворяющего уравнению Лапласа, только два коэффициента $b_{n}$ будут отличны от нуля. Найдите эти коэффициенты.
б) В двумерной задаче потенциал $\phi$ может быть записан в виде
$\phi = g( \rho) \cos \theta = g( \rho) \frac{z}{ \rho}, g( \rho ) = \sum_{n = - \infty}^{ \infty} c_{n} \rho^{n}$,
где $\rho^{2} = y^{2} + z^{2}$. Найдите отличные от нуля коэффициенты, если потенциал $\phi$ удовлетворяет уравнению Лапласа.
При решении задачи используйте декартову систему координат.
Решение:
а) Трехмерный случай: $\phi = \sum_{n = - \infty}^{ \infty} b_{n}zr^{n - 1}$. Подставляя это выражение для $\phi$ в уравнение $\Delta \phi = 0$, получаем $\Delta \phi = \sum_{n = - \infty}^{ \infty} (n - 1)(n + 2)b_{n}zr^{ n - 3} = 0$. Нетривиальное решение получившегося уравнения будет при условии, что коэффициенты $b_{1}$ и $b_{-2}$ отличны от нуля. Следовательно,
$\phi = b_{1}z + \frac{b_{-2}z }{r^{3} }$
б) Двумерный случай: $\phi = \sum_{n = - \infty}^{ \infty} c_{n}z \rho^{n - 1}$. В этом случае $\Delta \phi = \sum_{n}(n-1)(n + 1)c_{n}z \rho^{n - 2} = 0$. Следовательно, лишь $c_{1}$ и $c_{-1}$ отличны от нуля и решение имеет вид
$\phi = c_{1}z + \frac{ c_{-1}z}{ \rho^{2}}$.
