Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10947
2019-10-19 
«Диэлектрик» представляет собой пространственную решетку регулярно расположенных стеклянных шариков диаметра $d$ с минимальным расстоянием между соседними шариками, равным $3d$. Предполагая, что поляризация, наведенная во внешнем электрическом поле в каждом стеклянном шарике, не зависит от наличия остальных (т. е. пренебрегая перераспределением наведенных зарядов благодаря взаимному влиянию шариков), найдите диэлектрическую проницаемость такого «диэлектрика».
Решение:
В однородном внешнем электрическом поле $\vec{E}$ каждый шарик будет равномерно поляризован. Пусть $\vec{P}$ - вектор поляризации шара. Равномерная поляризация шара создает внутри него однородное электрическое поле с напряженностью, равной $- \vec{P}{3 \epsilon_{0}}$. Тогда суммарное электрическое поле внутри каждого шарика (их взаимным влиянием друг на друга мы, согласно условию задачи, пренебрегаем) равно $\vec{E}_{i} = \vec{E} - \vec{P}/3 \epsilon_{0}$. Поскольку $\vec{P} = \epsilon_{0} ( \chi - 1) \vec{E}_{i}$, то
$\vec{P} = \epsilon_{0} ( \chi - 1) \vec{E} - \frac{ \chi - 1}{3} \vec{P}$,
откуда
$\vec{P} = \frac{3 ( \chi - 1)}{ \chi + 2} \epsilon_{0} \vec{E}$.
Получим полный дипольный момент равномерно поляризованного шарика T, умножив $\vec{P}$ на объем шара, т. е. на $\frac{4 \pi}{3} \left ( \frac{d}{2} \right )^{3}$:
$T = \frac{4 \pi ( \chi - 1) }{ \chi + 2} \left ( \frac{d}{2} \right )^{3} \epsilon_{0} \vec{E}$.
Поскольку шарики образуют пространственную решетку с периодом, равным $3d$, поляризация этой решетки, т. е. дипольный момент, приходящийся на единицу объема решетки, будет равен
$\frac{1}{(3d)^{2} } T = \frac{4 \pi ( \chi - 1) }{6^{3} ( \chi + 2) } \epsilon_{0} \vec{E}$.
Так как $\vec{D} = \vec{E} + \vec{P}/ \epsilon_{0}$, то для диэлектрической постоянной решетки находим выражение
$\epsilon = 1 + \frac{4 \pi ( \chi - 1) }{6^{2} ( \chi + 2) }$.
«Диэлектрик» представляет собой пространственную решетку регулярно расположенных стеклянных шариков диаметра $d$ с минимальным расстоянием между соседними шариками, равным $3d$. Предполагая, что поляризация, наведенная во внешнем электрическом поле в каждом стеклянном шарике, не зависит от наличия остальных (т. е. пренебрегая перераспределением наведенных зарядов благодаря взаимному влиянию шариков), найдите диэлектрическую проницаемость такого «диэлектрика».
Решение:
В однородном внешнем электрическом поле $\vec{E}$ каждый шарик будет равномерно поляризован. Пусть $\vec{P}$ - вектор поляризации шара. Равномерная поляризация шара создает внутри него однородное электрическое поле с напряженностью, равной $- \vec{P}{3 \epsilon_{0}}$. Тогда суммарное электрическое поле внутри каждого шарика (их взаимным влиянием друг на друга мы, согласно условию задачи, пренебрегаем) равно $\vec{E}_{i} = \vec{E} - \vec{P}/3 \epsilon_{0}$. Поскольку $\vec{P} = \epsilon_{0} ( \chi - 1) \vec{E}_{i}$, то
$\vec{P} = \epsilon_{0} ( \chi - 1) \vec{E} - \frac{ \chi - 1}{3} \vec{P}$,
откуда
$\vec{P} = \frac{3 ( \chi - 1)}{ \chi + 2} \epsilon_{0} \vec{E}$.
Получим полный дипольный момент равномерно поляризованного шарика T, умножив $\vec{P}$ на объем шара, т. е. на $\frac{4 \pi}{3} \left ( \frac{d}{2} \right )^{3}$:
$T = \frac{4 \pi ( \chi - 1) }{ \chi + 2} \left ( \frac{d}{2} \right )^{3} \epsilon_{0} \vec{E}$.
Поскольку шарики образуют пространственную решетку с периодом, равным $3d$, поляризация этой решетки, т. е. дипольный момент, приходящийся на единицу объема решетки, будет равен
$\frac{1}{(3d)^{2} } T = \frac{4 \pi ( \chi - 1) }{6^{3} ( \chi + 2) } \epsilon_{0} \vec{E}$.
Так как $\vec{D} = \vec{E} + \vec{P}/ \epsilon_{0}$, то для диэлектрической постоянной решетки находим выражение
$\epsilon = 1 + \frac{4 \pi ( \chi - 1) }{6^{2} ( \chi + 2) }$.
