Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10944
2019-10-19 
Покажите, что силовые линии электрического поля, пересекающие поверхность раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями $\chi_{1}$ и $\chi_{2}$, образуют с нормалью к этой поверхности углы $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$, связанные соотношением $x_{1} ctg \theta_{1} = \chi_{2} ctg \theta_{2}$.
Решение:
Граничные условия на границе раздела двух сред (1) и (2) имеют вид $E_{1t} = E_{2t}, D_{1n} = D_{2n}$ или $E_{1n}{ \chi_{1}} = E_{2n}/ \chi_{1}$, где индексами $n$ и $t$ помечены нормальные и тангенциальные к поверхности составляющие векторов. Эти граничные условия следуют из уравнений Максвелла $div \vec{D} = 0$ и $\nabla \times \vec{E} = 0$.
Действительно, рассмотрим произвольную поверхность раздела двух сред (фиг.). Выберем произвольным образом направление внешней нормали п к этой поверхности и условимся обозначать индексами 1 и 2 величины, относящиеся соответственно к нижней и верхней средам. Выделим мысленно около рассматриваемой точки поверхности прямую призму с образующими $dl$, перпендикулярными поверхности. Пусть эта призма вырезает на поверхности элемент $S$ столь малый, что его можно считать плоским. По теореме Гаусса поток вектора электрической индукции через поверхность
призмы должен равняться нулю $\int \vec{D} \cdot d \vec{S} = \int div \vec{D} \cdot dV =0$. При стремлении $dl$ к нулю поток вектора $\vec{D}$ через боковую поверхность призмы также будет стремиться к нулю. Для потока же через верхнее и нижнее основание призмы получаем
$( \vec{D}_{1} \cdot \vec{n} )S - ( \vec{D}_{2} \cdot n ) S = 0$.
Отсюда следует искомое граничное условие
$D_{1n} = D_{2n}$.
Покажем теперь, что на границе раздела двух сред касательная составляющая вектора напряженности электрического поля $\vec{E}$ непрерывна. С этой целью выберем около произвольной поверхности (на фиг. ее сечение плоскостью рисунка изображено сплошной линией) контур в виде прямоугольной рамки, боковые стороны $dl$ которой нормальны к поверхности раздела сред. Выберем размеры этого контура столь малыми, чтобы поверхность раздела двух сред можно было считать плоской. Мысленно «натянем» на эту рамку стоксову поверхность. Тогда по теореме Стокса
$\int ( \nabla \times \vec{E} ) d \vec{S} = \oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = 0$.
Но при стремлении $dl$ к нулю вклад в интеграл по контуру от боковых сторон будет также стремиться к нулю. Если длину $L$ верхней и нижней сторон рамки выбрать достаточно малой, напряженность электрического поля $\vec{E}$ на этих сторонах рамки можно считать однородной. Отсюда $( \vec{E}_{1} \vec{t}) L - ( \vec{E}_{2} \vec{t})L = 0$, или $E_{1t} = E_{2t}$.
Из фиг. видно, что
$tg \theta_{1} = \frac{E_{1t} }{E_{1n} }$ и $tg \theta_{2} = \frac{E_{2t} }{E_{2n} }$.
Отсюда следует, что
$\chi_{1} ctg \theta_{1} = \chi_{2} ctg \theta_{2}$.
Покажите, что силовые линии электрического поля, пересекающие поверхность раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями $\chi_{1}$ и $\chi_{2}$, образуют с нормалью к этой поверхности углы $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$, связанные соотношением $x_{1} ctg \theta_{1} = \chi_{2} ctg \theta_{2}$.
Решение:
Граничные условия на границе раздела двух сред (1) и (2) имеют вид $E_{1t} = E_{2t}, D_{1n} = D_{2n}$ или $E_{1n}{ \chi_{1}} = E_{2n}/ \chi_{1}$, где индексами $n$ и $t$ помечены нормальные и тангенциальные к поверхности составляющие векторов. Эти граничные условия следуют из уравнений Максвелла $div \vec{D} = 0$ и $\nabla \times \vec{E} = 0$.
Действительно, рассмотрим произвольную поверхность раздела двух сред (фиг.). Выберем произвольным образом направление внешней нормали п к этой поверхности и условимся обозначать индексами 1 и 2 величины, относящиеся соответственно к нижней и верхней средам. Выделим мысленно около рассматриваемой точки поверхности прямую призму с образующими $dl$, перпендикулярными поверхности. Пусть эта призма вырезает на поверхности элемент $S$ столь малый, что его можно считать плоским. По теореме Гаусса поток вектора электрической индукции через поверхность
призмы должен равняться нулю $\int \vec{D} \cdot d \vec{S} = \int div \vec{D} \cdot dV =0$. При стремлении $dl$ к нулю поток вектора $\vec{D}$ через боковую поверхность призмы также будет стремиться к нулю. Для потока же через верхнее и нижнее основание призмы получаем
$( \vec{D}_{1} \cdot \vec{n} )S - ( \vec{D}_{2} \cdot n ) S = 0$.
Отсюда следует искомое граничное условие
$D_{1n} = D_{2n}$.
Покажем теперь, что на границе раздела двух сред касательная составляющая вектора напряженности электрического поля $\vec{E}$ непрерывна. С этой целью выберем около произвольной поверхности (на фиг. ее сечение плоскостью рисунка изображено сплошной линией) контур в виде прямоугольной рамки, боковые стороны $dl$ которой нормальны к поверхности раздела сред. Выберем размеры этого контура столь малыми, чтобы поверхность раздела двух сред можно было считать плоской. Мысленно «натянем» на эту рамку стоксову поверхность. Тогда по теореме Стокса
$\int ( \nabla \times \vec{E} ) d \vec{S} = \oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = 0$.
Но при стремлении $dl$ к нулю вклад в интеграл по контуру от боковых сторон будет также стремиться к нулю. Если длину $L$ верхней и нижней сторон рамки выбрать достаточно малой, напряженность электрического поля $\vec{E}$ на этих сторонах рамки можно считать однородной. Отсюда $( \vec{E}_{1} \vec{t}) L - ( \vec{E}_{2} \vec{t})L = 0$, или $E_{1t} = E_{2t}$.
Из фиг. видно, что
$tg \theta_{1} = \frac{E_{1t} }{E_{1n} }$ и $tg \theta_{2} = \frac{E_{2t} }{E_{2n} }$.
Отсюда следует, что
$\chi_{1} ctg \theta_{1} = \chi_{2} ctg \theta_{2}$.
