Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10943
2019-10-19 
Две коаксиальные трубки радиуса $a$ и $b$ ($a < b$) погружаются вертикально в масляную ванну. Покажите, что, если между трубками существует разность потенциалов $V$, масло в них поднимется на высоту
$h = \frac{2V^{2}( \chi - 1) \epsilon_{0}}{ ln \frac{b}{a} \rho (b^{2} - a^{2})g}$,
где $\chi$ - диэлектрическая проницаемость масла.
Решение:
В некотором смысле эта задача аналогична пункту (б) задачи 10942. Над диэлектриком (масло) совершается механическая работа, которая переходит в потенциальную энергию столбика масла в поле сил тяжести. Эта работа равна
$W = \frac{ V^{2}}{2} (C_{2} - C_{1} )$,
где $C_{1}$ и $C_{2}$ - емкости трубки до и после втягивания масла на высоту $h$. Так как емкость единицы длины цилиндрического конденсатора равна $C_{0} = 2 \pi \epsilon_{0} /ln (b/a)$ (см. решение к задаче 10926), то
$W = \frac{ V^{2} }{2} ( \chi - 1) h \frac{2 \pi \epsilon_{0} }{ln (b/a) }$.
Вес столба втянутого масла равен $\pi (b^{2} - a^{2}) \rho gh$. Потенциальная энергия этого столба в поле силы тяжести равна весу, умноженному на координату его центра тяжести, т. е. на $h/2$:
$\frac{ \pi (b^{2} - a^{2} ) }{2} \rho gh^{2}$.
Из равенства работы механических сил потенциальной энергии находим требуемый результат:
$h = \frac{2 \epsilon_{0} V^{2} ( \chi - 1) }{(b^{2} - a^{2} ) \rho g ln ( b/a) }$.
Две коаксиальные трубки радиуса $a$ и $b$ ($a < b$) погружаются вертикально в масляную ванну. Покажите, что, если между трубками существует разность потенциалов $V$, масло в них поднимется на высоту
$h = \frac{2V^{2}( \chi - 1) \epsilon_{0}}{ ln \frac{b}{a} \rho (b^{2} - a^{2})g}$,
где $\chi$ - диэлектрическая проницаемость масла.
Решение:
В некотором смысле эта задача аналогична пункту (б) задачи 10942. Над диэлектриком (масло) совершается механическая работа, которая переходит в потенциальную энергию столбика масла в поле сил тяжести. Эта работа равна
$W = \frac{ V^{2}}{2} (C_{2} - C_{1} )$,
где $C_{1}$ и $C_{2}$ - емкости трубки до и после втягивания масла на высоту $h$. Так как емкость единицы длины цилиндрического конденсатора равна $C_{0} = 2 \pi \epsilon_{0} /ln (b/a)$ (см. решение к задаче 10926), то
$W = \frac{ V^{2} }{2} ( \chi - 1) h \frac{2 \pi \epsilon_{0} }{ln (b/a) }$.
Вес столба втянутого масла равен $\pi (b^{2} - a^{2}) \rho gh$. Потенциальная энергия этого столба в поле силы тяжести равна весу, умноженному на координату его центра тяжести, т. е. на $h/2$:
$\frac{ \pi (b^{2} - a^{2} ) }{2} \rho gh^{2}$.
Из равенства работы механических сил потенциальной энергии находим требуемый результат:
$h = \frac{2 \epsilon_{0} V^{2} ( \chi - 1) }{(b^{2} - a^{2} ) \rho g ln ( b/a) }$.
