Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10941
2019-10-19 
Изолированному металлическому шару радиуса $a$ сообщен заряд $Q$. Поверхность шара равномерно покрыта слоем диэлектрика с внутренним радиусом $a$ и внешним радиусом $b$.
а) Вычислите поверхностный заряд, наведенный на внутренней и внешней поверхности диэлектрика.
б) Найдите, чему равна плотность наведенных зарядов в объеме диэлектрика.
Решение:
Вектор электрической индукции $\vec{D}$ в любой точке $\vec{r}$ внутри диэлектрика равен
$\vec{D} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \vec{r} }{r^{2} }$.
Так как $\vec{D} = \chi \epsilon_{0} \vec{E} = \epsilon_{0} \vec{E} + \vec{P}$, то
$\vec{P} = ( \chi - 1) \epsilon_{0} \vec{E} = \frac{ \chi - 1}{ \chi} \vec{D} = \frac{ \chi - 1}{ \chi} \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \vec{r} }{r^{3} }$.
Поверхностная плотность зарядов $\sigma_{пол}$ равна $\sigma_{пол} = \vec{P} \vec{n}$. Следовательно, наведенные на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика заряды $Q_{a}$ и $Q_{b}$ соответственно равны
a) $Q_{a} = 4 \pi a^{2} \sigma_{ пол}|_{r = a} = \frac{ \chi - 1}{ \chi} \frac{Q}{ \epsilon_{0} } = Q_{b}$.
б) $\rho_{пол} = - \nabla \cdot \vec{P} = 0$.
Изолированному металлическому шару радиуса $a$ сообщен заряд $Q$. Поверхность шара равномерно покрыта слоем диэлектрика с внутренним радиусом $a$ и внешним радиусом $b$.
а) Вычислите поверхностный заряд, наведенный на внутренней и внешней поверхности диэлектрика.
б) Найдите, чему равна плотность наведенных зарядов в объеме диэлектрика.
Решение:
Вектор электрической индукции $\vec{D}$ в любой точке $\vec{r}$ внутри диэлектрика равен
$\vec{D} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \vec{r} }{r^{2} }$.
Так как $\vec{D} = \chi \epsilon_{0} \vec{E} = \epsilon_{0} \vec{E} + \vec{P}$, то
$\vec{P} = ( \chi - 1) \epsilon_{0} \vec{E} = \frac{ \chi - 1}{ \chi} \vec{D} = \frac{ \chi - 1}{ \chi} \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \vec{r} }{r^{3} }$.
Поверхностная плотность зарядов $\sigma_{пол}$ равна $\sigma_{пол} = \vec{P} \vec{n}$. Следовательно, наведенные на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика заряды $Q_{a}$ и $Q_{b}$ соответственно равны
a) $Q_{a} = 4 \pi a^{2} \sigma_{ пол}|_{r = a} = \frac{ \chi - 1}{ \chi} \frac{Q}{ \epsilon_{0} } = Q_{b}$.
б) $\rho_{пол} = - \nabla \cdot \vec{P} = 0$.
