Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10937
2019-10-19 
Внутренний радиус металлической сферической оболочки равен $a$, ее внешний радиус равен $b$, а центр находится в начале координат. В оболочке просверлено небольшое отверстие. Полный заряд оболочки равен нулю. Какую работу нужно затратить, чтобы заряд $q_{1}$ перевести из бесконечности через отверстие в начало координат? Чему равна эта работа, если полный заряд оболочки равен $q_{2}$?
Решение:
Когда оболочка не заряжена, то на основании закона Гаусса убеждаемся, что электрическое поле помещенного в начало координат заряда $q_{1}$ внутри ($r \leq a$) и вне оболочки ($r > b$) совпадает с хорошо известным электрическим полем точечного заряда $q_{1}$. В самой же оболочке ($a \leq r \leq b$) напряженность электрического поля равна нулю. Очевидно, работа по перемещению заряда из бесконечности в начало координат будет равна разности энергий, заключенных в поле, одна из которых отвечает заряду в начале координат, а вторая - заряду $q_{1}$, помещенному на бесконечности. (Тот факт, что энергия точечного заряда бесконечна, здесь не приводит к затруднению, поскольку мы вычисляем не сами энергии, а их разность.) Искомая работа $W_{1}$ равна
$W_{1} = - \frac{ \epsilon_{0} }{2} \int_{ a \leq r \leq b} E^{2} dV = \frac{q_{1}^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{a - b}{ab}$.
Когда оболочка имеет заряд $q_{2}$, ситуация несколько иная. В начальном состоянии, когда заряд $q_{1}$ находится на бесконечности, энергия, сосредоточенная в поле, равна энергии точечного заряда $q_{1}$ плюс энергия, заключенная в поле, создаваемом сферической оболочкой. Последнее, как легко убедиться на основании теоремы Гаусса, отлично от нуля лишь при $r \geq b$ и совпадает с полем точечного заряда величины $q_{2}$. В конечном же состоянии, когда заряд $q_{1}$ находится в начале координат, величина напряженности электрического поля в пространстве ведет себя следующим образом (разумеется, поле всюду радиально):
$E = \begin{cases} \frac{q_{1} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }, & r < a, \\ 0, & a \leq r \leq b, \\ \frac{q_{1} + q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }, & r > b. \end{cases}$
Следовательно, искомая работа $W_{2}$ во втором случае равна
$W_{2} = W_{1} + \frac{ \epsilon_{0} }{} \int_{r \geq b} \left [ \left ( \frac{q_{1} + q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} } \right )^{2} - \left ( \frac{q_{1} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} } \right )^{2} - \left ( \frac{q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} } \right )^{2} \right ] dV = \frac{q_{1}^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{a - b}{ab} + \frac{q_{1}q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0}b }$.
Внутренний радиус металлической сферической оболочки равен $a$, ее внешний радиус равен $b$, а центр находится в начале координат. В оболочке просверлено небольшое отверстие. Полный заряд оболочки равен нулю. Какую работу нужно затратить, чтобы заряд $q_{1}$ перевести из бесконечности через отверстие в начало координат? Чему равна эта работа, если полный заряд оболочки равен $q_{2}$?
Решение:
Когда оболочка не заряжена, то на основании закона Гаусса убеждаемся, что электрическое поле помещенного в начало координат заряда $q_{1}$ внутри ($r \leq a$) и вне оболочки ($r > b$) совпадает с хорошо известным электрическим полем точечного заряда $q_{1}$. В самой же оболочке ($a \leq r \leq b$) напряженность электрического поля равна нулю. Очевидно, работа по перемещению заряда из бесконечности в начало координат будет равна разности энергий, заключенных в поле, одна из которых отвечает заряду в начале координат, а вторая - заряду $q_{1}$, помещенному на бесконечности. (Тот факт, что энергия точечного заряда бесконечна, здесь не приводит к затруднению, поскольку мы вычисляем не сами энергии, а их разность.) Искомая работа $W_{1}$ равна
$W_{1} = - \frac{ \epsilon_{0} }{2} \int_{ a \leq r \leq b} E^{2} dV = \frac{q_{1}^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{a - b}{ab}$.
Когда оболочка имеет заряд $q_{2}$, ситуация несколько иная. В начальном состоянии, когда заряд $q_{1}$ находится на бесконечности, энергия, сосредоточенная в поле, равна энергии точечного заряда $q_{1}$ плюс энергия, заключенная в поле, создаваемом сферической оболочкой. Последнее, как легко убедиться на основании теоремы Гаусса, отлично от нуля лишь при $r \geq b$ и совпадает с полем точечного заряда величины $q_{2}$. В конечном же состоянии, когда заряд $q_{1}$ находится в начале координат, величина напряженности электрического поля в пространстве ведет себя следующим образом (разумеется, поле всюду радиально):
$E = \begin{cases} \frac{q_{1} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }, & r < a, \\ 0, & a \leq r \leq b, \\ \frac{q_{1} + q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }, & r > b. \end{cases}$
Следовательно, искомая работа $W_{2}$ во втором случае равна
$W_{2} = W_{1} + \frac{ \epsilon_{0} }{} \int_{r \geq b} \left [ \left ( \frac{q_{1} + q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} } \right )^{2} - \left ( \frac{q_{1} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} } \right )^{2} - \left ( \frac{q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} } \right )^{2} \right ] dV = \frac{q_{1}^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{a - b}{ab} + \frac{q_{1}q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0}b }$.
