Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10928
2019-10-19 
Пусть диполь находится в однородном электрическом поле с напряженностью $\vec{E}_{0}$.
а) Если направление дипольного момента совпадает с направлением электрического поля, то существует эквипотенциальная поверхность, охватывающая диполь. Покажите, что такой поверхностью является сфера, и найдите величину дипольного момента,»для которой сфера имеет радиус $a$.
б) Опишите электрическое поле вне этой сферы.
в) Изменится ли электрическое поле, если с этой эквипотенциальной поверхностью совпадет тонкая проводящая сфера, заряженная до того же потенциала?
г) Как будут распределены заряды на сфере?
д) Каким дипольным моментом будет обладать это распределение зарядов?
е) Как бы вы использовали полученные результаты?
Решение:
а) Потенциал в пространстве при наличии однородного электрического поля равен
$\phi = - ( \vec{E}_{0} \cdot \vec{r}) + \frac{( \vec{p} \cdot \vec{r} )}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3} }$.
Когда $\vec{E}_{0} \parallel \vec{p} \parallel \vec{e}_{z}$,
$\phi = - E_{0}z + \frac{pz}{4 \pi \epsilon_{0}r^{3} } = z \left ( \frac{p}{4 \pi \epsilon_{0}r^{3} } - E_{0} \right )$.
Эквипотенциальная поверхность находится из условия
$\frac{p}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3} } - E_{0} = 0$, т.е. $r = \left ( \frac{p}{4 \pi \epsilon_{0} E_{0} } \right )^{1/3}$.
Если радиус сферы равен $a$, то $p = E_{0} a^{3} \cdot 4 \pi \epsilon_{0}$.
б) Электрическое поле находится следующим образом:
$\vec{E} = - \nabla \phi = \vec{E}_{0} + \frac{3 \vec{r}( \vec{r} \cdot \vec{p} ) - \vec{p} r^{2} }{2 \pi \epsilon_{0} r^{5} } = \vec{E}_{0} - \frac{ \vec{p} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{3} } + \frac{3 \vec{r} zp }{4 \pi \epsilon_{0}r^{5} }$.
На поверхности сферы
$E= 3E_{0} \cos \theta$.
в) Поле не изменится.
г) $\sigma = \epsilon_{0} E = 3 \epsilon_{0} E_{0} \cos \theta$.
д) $\vec{p} \int \vec{r} \sigma dS = 4 \pi \epsilon_{0} a^{3}E_{0} \vec{e}_{z}$, где $\vec{e}_{z}$ -единичный вектор вдоль оси $\vec{z}$.
е) Полученные результаты могут быть использованы, в частности, для решения задачи о поле и распределении зарядов металлической сферы, помещенной в однородное внешнее электрическое поле.
Пусть диполь находится в однородном электрическом поле с напряженностью $\vec{E}_{0}$.
а) Если направление дипольного момента совпадает с направлением электрического поля, то существует эквипотенциальная поверхность, охватывающая диполь. Покажите, что такой поверхностью является сфера, и найдите величину дипольного момента,»для которой сфера имеет радиус $a$.
б) Опишите электрическое поле вне этой сферы.
в) Изменится ли электрическое поле, если с этой эквипотенциальной поверхностью совпадет тонкая проводящая сфера, заряженная до того же потенциала?
г) Как будут распределены заряды на сфере?
д) Каким дипольным моментом будет обладать это распределение зарядов?
е) Как бы вы использовали полученные результаты?
Решение:
а) Потенциал в пространстве при наличии однородного электрического поля равен
$\phi = - ( \vec{E}_{0} \cdot \vec{r}) + \frac{( \vec{p} \cdot \vec{r} )}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3} }$.
Когда $\vec{E}_{0} \parallel \vec{p} \parallel \vec{e}_{z}$,
$\phi = - E_{0}z + \frac{pz}{4 \pi \epsilon_{0}r^{3} } = z \left ( \frac{p}{4 \pi \epsilon_{0}r^{3} } - E_{0} \right )$.
Эквипотенциальная поверхность находится из условия
$\frac{p}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3} } - E_{0} = 0$, т.е. $r = \left ( \frac{p}{4 \pi \epsilon_{0} E_{0} } \right )^{1/3}$.
Если радиус сферы равен $a$, то $p = E_{0} a^{3} \cdot 4 \pi \epsilon_{0}$.
б) Электрическое поле находится следующим образом:
$\vec{E} = - \nabla \phi = \vec{E}_{0} + \frac{3 \vec{r}( \vec{r} \cdot \vec{p} ) - \vec{p} r^{2} }{2 \pi \epsilon_{0} r^{5} } = \vec{E}_{0} - \frac{ \vec{p} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{3} } + \frac{3 \vec{r} zp }{4 \pi \epsilon_{0}r^{5} }$.
На поверхности сферы
$E= 3E_{0} \cos \theta$.
в) Поле не изменится.
г) $\sigma = \epsilon_{0} E = 3 \epsilon_{0} E_{0} \cos \theta$.
д) $\vec{p} \int \vec{r} \sigma dS = 4 \pi \epsilon_{0} a^{3}E_{0} \vec{e}_{z}$, где $\vec{e}_{z}$ -единичный вектор вдоль оси $\vec{z}$.
е) Полученные результаты могут быть использованы, в частности, для решения задачи о поле и распределении зарядов металлической сферы, помещенной в однородное внешнее электрическое поле.
