Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10927
2019-10-19 
Электрическое поле вне сферы, плотность поверхностных зарядов на которой меняется в зависимости от полярного угла $\theta$ как $\cos \theta$, можно себе представить как суперпозицию электрических полей двух слабо сдвинутых относительно друг друга и противоположно заряженных шаров. Покажите теперь это путем вычислений и найдите электрическое поле как вне, так и внутри сферы, считая, что плотность поверхностных зарядов на ней зависит от полярного угла $\theta: \sigma ( \theta )= A \cos \theta$, где $A$ - некоторая постоянная.
Решение:
Покажем, что суммарная поверхностная плотность зарядов, создаваемая двумя противоположно заряженными шарами, слабо сдвинутыми друг относительно друга, действительно меняется как $A \cos \theta$. Пусть объемная плотность зарядов каждого из шаров по абсолютной величине равна $\rho$. Поверхностная плотность при $\theta = 0$ (см. рисунок) равна $\rho d$, а при $\theta \neq 0, \sigma ( \theta) = \rho h( \theta)$, где $h ( \theta)= d \cos \theta$; таким образом, $\sigma ( \theta)= A \cos \theta$, где $A = \rho d$.
Поскольку поле вне равномерно заряженного шара с плотностью объемных зарядов $\rho$ равно полю точечного заряда $q = (4 \pi /3) R^{3} \rho$, напряженность электрического поля вне сферы равна напряженности электрического поля диполя с дипольным моментом, равным по величине $p = qd = (4 \pi/3) R^{3} \rho d = ( 4 \pi /3) AR^{3}$ и направленным по оси $z$. Напряженность электрического поля внутри равйомерно заряженного шара, как известно, равна
$\vec{E} = \frac{ \rho \vec{r} }{3 \epsilon_{0} }$,
или
$E_{x} = \frac{ \rho x}{3 \epsilon_{0} }, E_{y} = \frac{ \rho y}{3 \epsilon_{0} }, E_{z} = \frac{ \rho z}{3 \epsilon_{0} }$,
Для нашего случая вектор $\vec{E}$ в некоторой точке Р, находящейся внутри сферы, равен
$\vec{E} = \frac{ \rho}{3 \epsilon_{0} } ( \vec{r}_{1} - \vec{r}_{2} ) $.
Расписывая это соотношение в компонентах и принимая во внимание, что $x_{1} = x_{2}, y_{1} = y_{2}, z_{1} = z_{2} - d$, находим
$\vec{E} = \vec{e}_{z} \frac{ \rho d}{3 \epsilon_{0} } = \frac{A}{3 \epsilon_{0} } \vec{e}_{z}$.
Электрическое поле вне сферы, плотность поверхностных зарядов на которой меняется в зависимости от полярного угла $\theta$ как $\cos \theta$, можно себе представить как суперпозицию электрических полей двух слабо сдвинутых относительно друг друга и противоположно заряженных шаров. Покажите теперь это путем вычислений и найдите электрическое поле как вне, так и внутри сферы, считая, что плотность поверхностных зарядов на ней зависит от полярного угла $\theta: \sigma ( \theta )= A \cos \theta$, где $A$ - некоторая постоянная.
Решение:
Покажем, что суммарная поверхностная плотность зарядов, создаваемая двумя противоположно заряженными шарами, слабо сдвинутыми друг относительно друга, действительно меняется как $A \cos \theta$. Пусть объемная плотность зарядов каждого из шаров по абсолютной величине равна $\rho$. Поверхностная плотность при $\theta = 0$ (см. рисунок) равна $\rho d$, а при $\theta \neq 0, \sigma ( \theta) = \rho h( \theta)$, где $h ( \theta)= d \cos \theta$; таким образом, $\sigma ( \theta)= A \cos \theta$, где $A = \rho d$.
Поскольку поле вне равномерно заряженного шара с плотностью объемных зарядов $\rho$ равно полю точечного заряда $q = (4 \pi /3) R^{3} \rho$, напряженность электрического поля вне сферы равна напряженности электрического поля диполя с дипольным моментом, равным по величине $p = qd = (4 \pi/3) R^{3} \rho d = ( 4 \pi /3) AR^{3}$ и направленным по оси $z$. Напряженность электрического поля внутри равйомерно заряженного шара, как известно, равна
$\vec{E} = \frac{ \rho \vec{r} }{3 \epsilon_{0} }$,
или
$E_{x} = \frac{ \rho x}{3 \epsilon_{0} }, E_{y} = \frac{ \rho y}{3 \epsilon_{0} }, E_{z} = \frac{ \rho z}{3 \epsilon_{0} }$,
Для нашего случая вектор $\vec{E}$ в некоторой точке Р, находящейся внутри сферы, равен
$\vec{E} = \frac{ \rho}{3 \epsilon_{0} } ( \vec{r}_{1} - \vec{r}_{2} ) $.
Расписывая это соотношение в компонентах и принимая во внимание, что $x_{1} = x_{2}, y_{1} = y_{2}, z_{1} = z_{2} - d$, находим
$\vec{E} = \vec{e}_{z} \frac{ \rho d}{3 \epsilon_{0} } = \frac{A}{3 \epsilon_{0} } \vec{e}_{z}$.
