Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10922
2019-10-19 
Известно, что за год Земля выделяет тепловую энергию, примерно равную $Q = 8 \cdot 10^{20} дж$. Не строя последовательной теории этого явления, можно рассмотреть несколько весьма упрощенных моделей, позволяющих сделать правильные оценки по порядку величины. В качестве примера рассмотрим модель, согласно которой все тепло создается в результате распада радиоактивных веществ, однородно распределенных по объему земного шара: кинетическая энергия испускаемых ими частиц полностью переходит в тепло.
По существующим оценкам температура в центре Земли примерно равна $2500^{ \circ} С$, а теплопроводность земных пород в среднем равна $0,03 дж/см \cdot сек \cdot град$. Находится ли описанная выше модель в согласии с этими оценками?
Решение:
Считая Землю однородным шаром, воспользуемся аналогом закона Гаусса: полный поток тепла через замкнутую поверхность равен количеству тепла, выделившемуся в объеме, заключенном внутри этой поверхности (закон сохранения энергии!). Если в качестве такой поверхности взять поверхность сферы произвольного радиуса $r$ ($r < R$, где $R$ - радиус Земли), то значение потока тепла $h = - C ( dT/dr)$ ($C$ - теплопроводность земных пород) в любой точке этой поверхности будет одинаково в силу сферической симметрии задачи. Пусть $q$ - плотность источников тепла, такая, что полное количество выделяемой в Земле энергии равно $Q = (4 \pi /3) R^{3} q = 8 \cdot 10^{20} дж/год$. Тогда
$4 \pi r^{2} \cdot h = - 4 \pi r^{2} C \frac{dT}{dr} = \frac{4 \pi}{3} r^{3}q = \frac{Q}{R^{3} } r^{3}$.
Отсюда
$\frac{dT}{dr} = - \frac{Q}{4 \pi R^{3} C } r$.
Интегрируя это уравнение, находим
$T(r) = - \frac{Q}{8 \pi C R^{3} } r^{2} + D$.
где $D$ - постоянная интегрирования, которую следует найти из граничного условия. В качестве последнего можно выбрать $T(R) = 0$. Удовлетворяя граничному условию, находим $D = Q/8 \pi CR$ и, следовательно,
$T(r) = \frac{Q}{8 \pi CR^{3} } (R^{2} - r^{2} )$.
Отсюда температура в центре Земли $T(0) = \frac{Q}{8 \pi CR} = 50000^{ \circ} K$. Таким образом, описанная модель не находится в согласии с оценками.
Известно, что за год Земля выделяет тепловую энергию, примерно равную $Q = 8 \cdot 10^{20} дж$. Не строя последовательной теории этого явления, можно рассмотреть несколько весьма упрощенных моделей, позволяющих сделать правильные оценки по порядку величины. В качестве примера рассмотрим модель, согласно которой все тепло создается в результате распада радиоактивных веществ, однородно распределенных по объему земного шара: кинетическая энергия испускаемых ими частиц полностью переходит в тепло.
По существующим оценкам температура в центре Земли примерно равна $2500^{ \circ} С$, а теплопроводность земных пород в среднем равна $0,03 дж/см \cdot сек \cdot град$. Находится ли описанная выше модель в согласии с этими оценками?
Решение:
Считая Землю однородным шаром, воспользуемся аналогом закона Гаусса: полный поток тепла через замкнутую поверхность равен количеству тепла, выделившемуся в объеме, заключенном внутри этой поверхности (закон сохранения энергии!). Если в качестве такой поверхности взять поверхность сферы произвольного радиуса $r$ ($r < R$, где $R$ - радиус Земли), то значение потока тепла $h = - C ( dT/dr)$ ($C$ - теплопроводность земных пород) в любой точке этой поверхности будет одинаково в силу сферической симметрии задачи. Пусть $q$ - плотность источников тепла, такая, что полное количество выделяемой в Земле энергии равно $Q = (4 \pi /3) R^{3} q = 8 \cdot 10^{20} дж/год$. Тогда
$4 \pi r^{2} \cdot h = - 4 \pi r^{2} C \frac{dT}{dr} = \frac{4 \pi}{3} r^{3}q = \frac{Q}{R^{3} } r^{3}$.
Отсюда
$\frac{dT}{dr} = - \frac{Q}{4 \pi R^{3} C } r$.
Интегрируя это уравнение, находим
$T(r) = - \frac{Q}{8 \pi C R^{3} } r^{2} + D$.
где $D$ - постоянная интегрирования, которую следует найти из граничного условия. В качестве последнего можно выбрать $T(R) = 0$. Удовлетворяя граничному условию, находим $D = Q/8 \pi CR$ и, следовательно,
$T(r) = \frac{Q}{8 \pi CR^{3} } (R^{2} - r^{2} )$.
Отсюда температура в центре Земли $T(0) = \frac{Q}{8 \pi CR} = 50000^{ \circ} K$. Таким образом, описанная модель не находится в согласии с оценками.
