ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-19   
Представьте себе, что через земной шар по диаметру прорыт туннель. Плотность пород, образующих земной шар, можно считать постоянной. Покажите, что если в этот туннель бросить какой-то предмет, то он будет совершать колебания относительно центра земного шара с периодом, равным периоду обращения спутника, запущенного вокруг Земли над самой ее поверхностью.


Решение:


Введем напряженность гравитационного поля $\vec{E} = - \nabla \phi$, где $\phi$ - гравитационный потенциал. Так как законы электростатики и тяготения совпадают, то с помощью теоремы Гаусса найдем

$\vec{E} = - \frac{ \gamma M}{4 \pi \epsilon_{0}R^{3} } \vec{r}, r \leq R$

где $\gamma$ - гравитационная постоянная, a $R$ и $M$ - радиус и масса Земли. Уравнение движения тела

$m \ddot{ \vec{r}} = n \vec{E} = - m \gamma \frac{M}{R^{3} } \vec{r}$,

или

$\ddot{r} + \omega^{2}r = 0$, где $\omega = \sqrt{ \gamma \frac{M}{R^{3} } } = \sqrt{ \frac{q}{R} }$

($g$ - земное ускорение силы тяжести). Период колебания равен

$T_{кол} = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} }$.

Для спутника, вращающегося ярд самой поверхностью Земли, равенство центробежной силы и силы гравитации

$\frac{mv^{2} }{R} = mg$

приводит к следующему выражению для линейной скорости:

$v = \sqrt{gR}$.

Отсюда для угловой скорости вращения спутника находим

$\omega = \frac{v}{R} = \sqrt{ \frac{g}{R} }$.

Следовательно, для периода обращения получаем выражение

$T_{обр} = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} } = T_{кол}$,

что и требовалось показать.