Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10920
2019-10-19 
Отрицательный мюон ($\mu$ - мезон) - это частица, заряд которой равен заряду электрона, а масса в 207 раз тяжелее массы электрона. При торможении в веществе отрицательный мюон может быть захвачен ядром какого-нибудь атома и заместить один из вращающихся вокруг ядра электронов, образовав «мезоатом». Так как масса мюона велика, то размер его орбиты во много раз меньше размеров орбит атомных электронов, например, для тяжелых ядер орбита мюона, соответствующая его наинизшему энергетическому состоянию, даже находится внутри ядра. Мюон взаимодействует с ядерным веществом с помощью не ядерных сил, а электрических, причем ядро им воспринимается как равномерно заряженный шар. Из независимых экспериментов было найдено, что радиус ядра зависит от суммарного числа протонов и нейтронов (А) следующим образом: $R = R_{0} \cdot A^{1/3}$ ($R_{0} \approx 1,2 \cdot 10^{-15} м$). Рассмотрим модель мезоатома свинца, в котором мюон осциллирует относительно центра ядра вдоль произвольной линии, проходящей через этот центр. Чему равна собственная частота $\omega$ таких осцилляций? Вы уже знаете, что квантовые уровни гармонического осциллятора отстоят друг от друга на энергию $h \omega$. Чему равна разность энергий двух самых низких состояний мезоатома в рассматриваемой модели? Экспериментально было обнаружено, что при образовании мезоатомов в свинце испускаются $\gamma$ - лучи с энергией 6Мэв. Как бы вы интерпретировали этот факт?
Решение:
Если рассматривать ядро как равномерно заряженный шар, то электрическое поле внутри ядра легко найти по теореме Гаусса:
$\vec{E} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R^{3} } \vec{r}, r \leq R$.
Здесь $R$ - радиус ядра, $Q$ - полный заряд ядра. Уравнение движения мюона с массой $\mu$ (нерелятивистское) имеет вид
$\mu \ddot{r} = \frac{q_{e}Q }{4 \pi \epsilon_{0}R^{3} } r$,
или
$\ddot{r} + \omega^{2}r = 0$,
где введена частота
$\omega = \sqrt{ \frac{q_{e}Q }{4 \pi \epsilon_{0} \mu R^{3} } } = \sqrt{ \frac{q_{e}Q}{4 \pi \epsilon_{0} \mu R_{0}^{3}A^{3} } }$. (1)
Подставляя в (1) $R_{0} = 1,2 \cdot 10^{-15} м, Q = 82q_{e}, A = 209, \mu = 207m_{e}$, находим
$\hbar \omega = 6,1 Мэв$.
Найденная оценка позволяет интерпретировать наблюдаемое явление как переходы между уровнями энергии осциллятора с испусканием $\gamma$ - лучей соответствующей энергии.
Отрицательный мюон ($\mu$ - мезон) - это частица, заряд которой равен заряду электрона, а масса в 207 раз тяжелее массы электрона. При торможении в веществе отрицательный мюон может быть захвачен ядром какого-нибудь атома и заместить один из вращающихся вокруг ядра электронов, образовав «мезоатом». Так как масса мюона велика, то размер его орбиты во много раз меньше размеров орбит атомных электронов, например, для тяжелых ядер орбита мюона, соответствующая его наинизшему энергетическому состоянию, даже находится внутри ядра. Мюон взаимодействует с ядерным веществом с помощью не ядерных сил, а электрических, причем ядро им воспринимается как равномерно заряженный шар. Из независимых экспериментов было найдено, что радиус ядра зависит от суммарного числа протонов и нейтронов (А) следующим образом: $R = R_{0} \cdot A^{1/3}$ ($R_{0} \approx 1,2 \cdot 10^{-15} м$). Рассмотрим модель мезоатома свинца, в котором мюон осциллирует относительно центра ядра вдоль произвольной линии, проходящей через этот центр. Чему равна собственная частота $\omega$ таких осцилляций? Вы уже знаете, что квантовые уровни гармонического осциллятора отстоят друг от друга на энергию $h \omega$. Чему равна разность энергий двух самых низких состояний мезоатома в рассматриваемой модели? Экспериментально было обнаружено, что при образовании мезоатомов в свинце испускаются $\gamma$ - лучи с энергией 6Мэв. Как бы вы интерпретировали этот факт?
Решение:
Если рассматривать ядро как равномерно заряженный шар, то электрическое поле внутри ядра легко найти по теореме Гаусса:
$\vec{E} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R^{3} } \vec{r}, r \leq R$.
Здесь $R$ - радиус ядра, $Q$ - полный заряд ядра. Уравнение движения мюона с массой $\mu$ (нерелятивистское) имеет вид
$\mu \ddot{r} = \frac{q_{e}Q }{4 \pi \epsilon_{0}R^{3} } r$,
или
$\ddot{r} + \omega^{2}r = 0$,
где введена частота
$\omega = \sqrt{ \frac{q_{e}Q }{4 \pi \epsilon_{0} \mu R^{3} } } = \sqrt{ \frac{q_{e}Q}{4 \pi \epsilon_{0} \mu R_{0}^{3}A^{3} } }$. (1)
Подставляя в (1) $R_{0} = 1,2 \cdot 10^{-15} м, Q = 82q_{e}, A = 209, \mu = 207m_{e}$, находим
$\hbar \omega = 6,1 Мэв$.
Найденная оценка позволяет интерпретировать наблюдаемое явление как переходы между уровнями энергии осциллятора с испусканием $\gamma$ - лучей соответствующей энергии.
